北京大学2007高等代数与解析几何试题解答.pdfVIP

北京大学2007 年《高等代数与解析几何》试题解答 北京大学2007 年高等代数与解析几何试题 解 答 1、回答下列问题： （1）问是否存在n n 阶方阵A, B ，满足AB −BA E （单位矩阵）？又，是否存在 维 线性空间上的线性变换A ，B ，满足AB −BA E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，给 出证明. 【解】否，下面给予证明.对于任意n 阶方阵A, B ，若AB −BA E ，则两边取矩阵的 迹，并注意到tr(AB) tr(BA) ，得0 n ，矛盾.所以不存在方阵A, B ，使AB −BA E . 对于线性变换A ，B ，取线性空间的一个基，并设A ，B 在这个基下的矩阵分别为A, B ， n 若AB −BA E ，则相应的有AB −BA E ，矛盾.所以不存在 维线性空间上的线性变 换A ，B ，满足AB −BA E . 3 （2 ）设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数 ，则A 的各行元素之和是否为常数？若是， c 是多少？说明理由. T n 【解】是.设 是 维列向量，则由A 的各行元素之和为常数 ，知 η (1,1, ,1) c 3 3 3 3 ，从而 .所以A 的各行元素之和为常数 . Aη cη A η c η c （3 ）设m ×n 矩阵A 的秩为r ，任取A 的r 个线性无关的行向量，再取A 的r 个线性 无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为0 ？若是，给出证明；若否，举出反例. 【解】是.不妨考虑A 的后r 个线性无关的行向量及后r 个线性无关的列向量，所组成 的r 阶子式记为D .假设D 0 ，则仅对A 的后r 行施行初等行变换，可得 B C  A →  H ， α 0  其中B 是 矩阵， 是 矩阵， 是 维行向量.根据初等行变 (m −1) ×(n −r ) C (m −1) ×r α n −r — 1 — 北京大学2007 年《高等代数与解析几何》试题解答 换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知rank(C) r ，且α ≠0 .于是有 rank(A) rank(H ) =≥rank(C ) +rank(α) r =+1 ， 矛盾. 所以D ≠0 . （4 ）设A, B 都是m ×n 矩阵，线性方程组AX 0 与BX 0 同解，则A 与B 的列向 量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明