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第二章 逻辑代数基础 本章要求： 1.掌握逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）； 2.掌握逻辑代数中的基本公式和常用公式； 3.掌握逻辑代数的三个基本定理； 4.理解并掌握逻辑函数的表示方法和化简方法，重点掌握公式化简法和卡诺图化简法。 各种逻辑运算汇总表 几种常用的复合逻辑符号 与非 或非 与或非 几种常用的复合逻辑符号 异或 Y= A ? B 几种常用的复合逻辑符号 同或 Y= A ⊙B 1.代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。 真值表 真值表（四输入变量） 3.逻辑函数的标准形式 对于一个任意的逻辑函数通常有“积之和”与“和之积”两种基本表达形式，且其表达形式并不是唯一的，如 是“积之和”的形式，又称“与—或”表达式； 而 则是“和之积”的形式，又称“或—与”表达式。但一个逻辑函数的标准形式却是唯一的，逻辑函数标准形式的唯一性给用图表方法化简函数提供了方便，并且建立了逻辑函数与真值表的对应关系。 最小项编号 为了表达方便，人们通常用mi表示最小项，其下标i为最小项的编号。编号的方法是：最小项中的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如三变量最小项 对应的变量取值为100，它对应的十进制数为4，因此，最小项 的编号为m4。其余最小项的编号以此类推。 值得注意的是，在规定n变量最小项的编号时，对变量的排列顺序是重要的。例如，把 记作m4。其中隐含了A是最高位，而C是最低位这一排列顺序。三变量全体最小项的编号如表2.5.5所列。 2.最小项之和的标准形式 由最小项的逻辑或的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的最小项之和的标准形式。如： 例如： 2.最大项编号 最大项编号用Mi表示最大项，其下标i为最大项的编号。编号的方法是：最大项中的原变量取0，反变量取1，则最大项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最大项的编号。 如 三变量最大项对应的变量取值为011，它对应的十进制数为3， 因此， 最大项的编号为M3。其余最大项的编号以此类推 3.最大项之积的标准形式 由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如： 解：（1）求最小项之和的标准形式 （2）求最大项之积的标准形式 利用真值表展开为两种标准形式 同样，我们通过例题来学习该方法的具体步骤。 例 : 将函数 展开为 两种标准形式。 解：（1）求最小项之和的标准形式 作函数 的真值表， 如表2.11所示。 表 2.11 函数F的真值表 结论： （1）利用真值表求最小项之和标准形式的方法：观察真值表，找出函数F为1的各项，作函数对应这些项的最小项，对于输入变量为1，则取输入变量本身，若输入变量为0，则取其反变量，再取这些最小项之和，即为所求函数的最小项之和标准形式。 （2）利用真值表求最大项之积标准形式的方法：观察真值表，找出函数F为0的各项，作函数对应这些项的最大项，对于输入变量为0，则取输入变量本身，若输入变量为1，则取其反变量，再取这些最大项之积，即为所求函数的最大项之积标准形式。 逻辑函数的代数简化法举例 1．消项法 根据A+AB=A去掉多余的“与“项 例1 化简逻辑函数 2．消元法 根据 例: 化简逻辑函数F= 卡诺图的画法（三输入变量） 例1：设输入A、B、C、D是十进制数X的二进制编码，当X≥5时，输出Y为1，否则为0，求Y的最简“与或”表达式。 解：（1）根据题意列真值表，如下表所示。 从表中看出: ①当A、B、C、D的取值为0000～0100时，Y=0； ②当A、B、C、D的取值为0101～1001时，Y=1； ③当A、B、C、D的取值为1010～1111时，因为： 十进制数只有0～9这10个数码，对应的二进制编码是0000～1001，所以对于A、B、C、D的这6组取值是不允许出现的。也就是说，这6个最小项是“约束项”。 由真值表得Y的表达式为 Y（A，B，C，D）=∑m(5,6