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第十届全国现代结构丁=程学术研讨会 基于自然坐标的单元变换解析积分研究 韩涛 (陕西省机械施工公司，陕西．710032) 摘要：以直角坐标系为出发点，推导了自然坐标系下的单元积分表达式，并以四面体单元为例，证明了直边单元边线内插点为 等距分布时，其等参及亚参变换时其变换矩阵为常数矩阵，在此基础上推导了单元解析积分表达式，并给出了详细的 推导过程，可以直接应用于实际计算。 关键词：有限元，四面体，解析积分，等参变换 一、引言 在有限元的计算中，单元的积分计算是求解的基本步骤之一，通常采用的方法有解析积分法和数值积分 法．数值积分在有限元的计算中，有着广泛的应用，其基本原理是通过积分点的变量值和权系数米获得单元的 积分值．尤其在被积函数较为复杂时，数值积分有着巨大的优势．采用数值积分时，当积分点较少导致计算精 度降低甚至计算不收敛，当采用较多的积分点时可以有效的提高计算精度，但这是以增加求解用时为代价的， 有时当积分点过多时甚至同样出现不能收敛的问题11．2l，因此合理的积分点是采用数值积分时的关键因素之 一．虽然数值积分在被积函数表达式较为复杂时是计算的首选，但是当被积函数较为较为简单时，尤其在规则 的单元内，解析积分仍然有着巨大的吸引力．实际上，结构中常用的单元大多数为规则的单元，如平面的三角形 单元，四边形单元，三维的四面体单元等，而且被积函数表达式也较为简单，既使是高阶的被积函数也是有规律 可循的．因此解析积分在有限元的计算中有着举足轻重的作用． 本文以三维四面体单元为例，以直角坐标系为出发点，推导了等参和亚参四面体单元在自然坐标系下的 解析积分表达式，给出了详细的推导过程，可以直接应用于实际计算． 单元积分自然坐标表示形式 设单元的积分表达式为 f fdV (2．1) ．Iv’ 式中，，为被积函数，y为单元体积． 当在直角坐标系下时，式(2．1)可以表大为： I，f(x)dxdydz (2．2) 式中，工=工，Y，Z．对于规则的单元，如三维平行六面体单元，其积分上下限较为规则，可以通过上式直接 积分．但当为三维四面体单元时，由于其积分上下限出现斜面，显然在直角坐标系下其积分具有一定的困难．通 常采用的做法是将直角坐标转化为所谓的自然坐标，然后通过自然坐标可以较为方便的实现积分运算．自然 工业建筑2010增刊 839 第十届全国现代结构工程学术研讨会 坐标的实质是直角坐标的变换，通过适当的变量替换可以导出只与单元节点坐标相关的变量，因而简化了积 分运算．实际上，对于式(2．2)作变量如下替换即可 = Q筇 厂工 =厂X ㈤㈤ 式中，善=孝，r／，f为相互独立的自然坐标．对直角坐标系的被积函数求全微分： 出工 l| d + d + d 刁 = d + d + d 如y