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浅谈“特殊化”方法在课堂教学中的应用 (广东省陆丰市启恩中学 516500 林敏燕) 研究某个具有一般性的数学问题时,先考察并解决它的某个简单的特例,然后将解决特例所使用的方法或所得到的结果,试用了解决原先的一般性问题,这就是一般与特殊类比的手法.通常把这种手法称为“特殊化”.也就是说,我们可以从使用的方法类比着手一般性的问题,也可以从结果类比猜测一般性的结果,然后来证明它. 著名的德国数学家希尔伯特曾说:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.”如何将这种“特殊化”方法应用于课堂教学中,这是数学教育工作者都应该思考的问题.笔者从事高三教学多年,下面举两个例子,案例一是从方法类比着手,案例二是从结果着手,这两个案例都是在高三总复习时上的,希望对大家有所帮助. 案例一:抽象函数的解析式求法 1 问题的提出 师:请大家看下面两个问题: 问题1 已知函数的定义域是R,且满足2f(x)+f(-x)=3x+1,求f(x)的解析式. 问题2 已知函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},且满足2f(x)+f()=3x+1,求的解析式. 2 组织学生活动 师:先看问题1,我们做过这种类似的题目吗? 生1:没有,上节课我们做过的是已知函数类型求解析式.显然,用待定系数法是不行的,因为不知道f(x)是什么函数. 师:看来这个问题有点难,我们退一步来看看,你们能求出f(1)的值吗? (学生情绪高涨,马上都用笔在纸上计算) 生2:老师,我算出来了.您看,我先令x=1,得:2f(1)+f(-1)=4;再令x=-1,得:2f(-1)+f(1)=-2;由这两个式联立方程得:f(1)= . 师:这位同学做得好,大家说说看,好在哪里? 生3:他刚好找到两个关于f(1)和f(-1)的式子,把f(-1)消去了. 师:有人能求出f(2)的值吗? 大部分同学都点头. 师:哪位同学来说说看? 生4:只要我们令x=2和x=-2,得到两个关于f(2)和f(-2)式子,消去f(-2)即可以得到f(2)的值. 师:对.我们还没有解决问题1,但在求f(1),f(2)的过程中,同学们发现了什么? 生5:我们可以求出任意一个x0的值,只要令x= x0,x= -x0,得到两个关于f(x0),f(-x0)的式子,消去f(-x0)即可以得到f(x0).由x0的任意性可以得到f(x)的解析式. 师:说得好,大家能把这个过程写出来吗? (让学生自己写出过程,选一个写得好的同学上去在黑板上写) 师:问题2和问题1有没有相似的地方? 生6:有,问题1中的两个变量互为相反数,问题2的两个变量互为倒数. 师:同样的,我们能求x=1,x=2,x=3对应的函数值吗?任意一个x0对应的函数值呢? 生7:解题过程和问题1的解法类似, 可以求出任意一个x0的值,只要令x= x0,x= 1/x0,得到两个关于f(x0),f(1/x0)的式子,消去f(1/x0)即可以得到f(x0).由x0的任意性可以得到f(x)的解析式. 师:对,问题2和问题1的解题方法类似.如果我们把f(x),f(-x)的系数改变,解题方法还是一样,不过,f(x)与f(-x)的系数能相等吗? 生8:不能, 令x= x0,x= -x0,得到两个式子一样的. 师:对吗?写出来看看. 生9:不对,是左边一样,右边不一样.右边应该是个常数,不然会无解. 师:说得对,也就是说,如果f(x)与f(-x)的系数相等,这个函数仅仅由这个条件是不能确定的.如果f(x)与f(-x)的系数不相等,这个函数的解析式是确定的.这样一来,只要我们改变左边式子中的系数和右边的函数式,可以编出好多题目来.课后大家可以编编看. 师:下面我们再来看道难一点的: 问题3: 已知函数的定义域是R,且满足2f(x-1)+f(1-x)=3x+1,求f(x)的解析式. 师:问题3和问题1类似吗? 生10:只要我们令t=x-1,得到的问题跟问题1是同一种类型的. 师:对.大家把结果计算出来. 3 小结 师:从解决这三个问题的过程中,我们可以发现,当我们遇到一个较难处理的问题时,可以从先解决它的一个简单的特例开始,从解决特例的过程中发现解决一般问题的方法,从而达到解决问题的目的. 布置练习. 4 点评 这堂课若一开始就以-x换成x,解方程组,就会显得呆板,无趣,而且使很多中下层学生无法理解为什么要这样代换;而从特例出发,让学生看到了为什么要这样代换的思惟过程,自然地理解了这种解题方法的思路.同时这堂课也为他们以后遇到难题时,可以利用“特殊化”方法来解决问题打下基础. 案例二: 函数f(x)=的值域求法 1 问题的提出 师:请大家看下面的问题: 求下列函数的值域: f(x)= ; f(x)= (-4≤x≤-2); f(x)= (0≤x≤2); f(x)= (-2≤x≤1) f(