数值分析讲义2.pptVIP

其中 上应用梯形公式 的近似值 于是 称为步长， 得积分 比如，在小区间 若将近似值记作 ，并注意到 和 则由上式可得复合求积公式 用类似方法可以导出复合辛普森公式 该公式称为复合梯形公式。 和复合科茨公式 其中 下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和 复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。 定理5 若 在积分区间 上连续，则复合 若 在积分区间 上连续，则复合辛普森 若 在积分区间 其中 梯形公式的余项为 公式的余项为 上连续，则复合科茨公式 的余项为 例2 对于 ，利用数据表计算积分 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 433332222解：这个问题有明显的答案 将积分区间 划分为8等分，取 应用复合梯形公式 求得 现在用复合求积公式进行计算。 如果将积分区间 划分为4等分，取 应用复合辛普森公式 求得 比较 与 点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别很大， 只有2位有效数字， 却有7位有效数字。 的结果，它们都需要提供9个 例3 利用复合辛普森公式 计算积分 的近似值，使截断误差不超过 并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新 计算近似值。 解：首先应根据精度的要求，确定区间 的等分数 由于 故 根据复合辛普森公式的余项表达式 为满足精度要求，需 满足 这只需 即 ，取 可得 对同样9个点上函数值（见下表） 0 1.0000000 5/8 0.9361556 1/8 0.9973978 3/4 0.9088516 1/4 0.9896158 7/8 0.8771925 3/8 0.9767267 1 0.8414709 1/2 0.9588510 若用复合梯形公式计算，所得近似值为 若用复合科茨公式计算，所得近似值为 三种方法计算工作量相同（都需计算9个点的函数值）， 但所得结果与积分准确值0.9460831…相比较，复合辛普森公式具有精度高，计算较简便等优点，因此得到较广泛应用。 解：设 所以 由 9个点上的函数值如下表 例4 利用复合辛普森公式计算 0 0 0.75 00.125 0.031128 0.875 0.183606557 0.25 0.061538 1 0.2 0.375 0.090566 0.5 0.117647 0.625 0 于是 例5 取9个点的函数值，用复合辛普森公式计算积分 近似值，估计误差，并说明结果的有效数字。 解： 各求积节点和各求积节点的函数值如下表： 0 1 3/8 0.9767276 6/8 0.9088517 1/8 0.9973979 4/8 0.9588511 7/8 0.8771926 2/8 0.9896158 5/8 0.9361556 1 0.8414710 为了估计误差,要求 的高阶导数，由于 故 从而有 故复化辛普森公式的误差为 由于 结果有6位有效数字。 练习： 取7个等距离节点（包括区间端点），用复合辛普森 公式计算积分 并说明结果的有效数字。 近似值，估计误差， 其中 为了便于编制程序，在实际计算中常将辛普森公式 改写成 第六章 数值积分 主讲老师: 汪达成 在高等数学中，计算定积分 根据微积分学基本定理，若被积函数 在区间 上连续，只要找到 的一个原函数 便可利用牛顿—莱布尼兹公式 但是在工程技术和科学研究当中，往往遇到如下困难， 而不能使用牛顿—莱布尼兹公式。 §1 构造数值积分公式的基本方法与有关概念 求得积分值。 为 原函数的计算复杂性大大超过被积函数。 1、 找不到用初等函数表示的原函数 例如： 等等 2、 虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便于计算 例如： 是由测量和计算得到的函数列表，即给出的是 回顾积分中值定理 可惜的是 值不易找到，因而难以求出 但若能对 提供一种近似算法，也可以得到一种 3、 的一张数据表。 由于这些困难，我们必须研究积分的数值计算问题。 的准确值。 数值积分公式。 若取 ，则得到 如取 ，则得到 如取 ，则得到 以上三个公式分别称为左矩形公式，中矩形公式和右矩形公式。 由定积分的定义 可以得到定积分的一个近似计算公式 为求积结点， 为求积系数，它们均与 的具体形式无关。 进一步，我们设想更一般的求积公式为 ① 称 这类数值积分的方法通常称为机械求积法，主要 有插值型和外推型两种。它们均是应用被积函