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概率统计(浙大三版) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章、多维随机变量及其分布 第二节 二维 r.v.的条件分布 与随机变量的独立性 一、二维离散 r.v.的条件分布律 §3.2离散条件分布 二、 二维连续型随机变量的条件 分布和条件密度 三、随机变量的独立性 设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布 若 则称 为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律 一、二维离散 r.v.的条件分布律 §3.2离散条件分布 若 则称 为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 类似乘法公式 类似于全概率公式 例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的球数，求 例1 (1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律. 解 先求联合分布， 其联合分布与边缘分布如下表所示 X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 pi? 1 p? j X 0 1 2 3 将表中第一行数据代入得条件分布 (1) Y 0 1 (2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1. 将表中第三列数据代入下式 得Y 的条件分布 解 例2 例2 已知一射手每次击中目标概率为 p ( 0 p 1 ), 射击进行到击中两次为止. 令 X 表示首次击中目标所需射击次数, Y 表示总共射击次数. 求 的联合分布律、条件分布律 和 边缘分布律. 由题设知 故 X 与Y 的边缘分布律分别为 的联合分布律为 律为 当 时, X 的条件分布 当 时, Y 的条件分布 二、 二维连续型随机变量的条件分布和条件密度 当X 连续时, 条件分布不能用 来定义 , 因为 , 来定义. 而应该用 x y - ?y y ?y 设 x y -?y y 若 f (x,y) 在点(x, y) 连续, f Y (y)在 点 y 处连续且 f Y (y) 0, 则称 为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作 定义 类似地, 称 为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; 为 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f. 称 为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f. 称 注意 y是常数, 对每一 fY (y) 0 的 y 处, 只要 相仿论述. 仅是 x 的函数, 类似于乘法公式： 符合定义的条件, 都能定义相应的函数. 类似于全概率公式 类似于Bayes公式 例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 ? r2 上的均匀 分布,求 r 解 ? ? x -r = 例3 同理， 边缘分布不是均匀分布！ 当 – r y r 时， ? ? y — 这里 y 是常数，当Y = y 时， 当 – r x r 时， — 这里 x 是常数，当X = x 时， ? ? x 例4 已知 求 解 例4 同理， 例5 设 求 解 y = x 1 1 例5 y = x 1 1 当0 y 1 时， y 当0 x 1 时， y = x 1 1 x y = x 1 1 当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0 故 例6 已知 求 例6 当f X(x) 0 时，即 0 x 1 时， 解