离散数学第9章 图论.pptVIP

在子图H中，任一结点至多与M中的一条边关联且与M1中一条边关联。因而任一结点的度数是1或2。故H的连通分支是一条路，或者是一个回路。 如果H的连通分支是一条路P，则它是M交替路，也是M1交替路。如果P的两个端点均与M中的边关联，则P是M1可扩路。由假设知，M1是最大匹配，所以，不存在M1可扩路，得到矛盾。如果P的两个端点均与M1的边关联，那么P是一条M可扩路与题设矛盾。故P只能是一个端点与M中的边关联，另一个端点与M1中的边关联，这样P中属于M的边数与属于M1的边数相等。 如果H的连通分支是一个回路，回路中的边交替地属于M和M1，因而属于M的边数与属于M1的边数相等。 从上面可以看到，H中属于M的边与属于M1的边的数目相等。再加上既属于M又属于M1的边，可以得出：M中的边数与M1中的边数相等。所以M是最大匹配。 有了上面的准备以后，就可以进一步讨论如何在二部图中求最大匹配的问题。 设G=?V1,V2,E?是二部图，通常先作G的一个匹配M，再看V1中有没有M的非饱和点。如果没有，那么M肯定是最大匹配；如果有，就从这些点出发找M可扩路。由M可扩路作出一个更大的匹配。所以，在G中求最大匹配的关键是寻找M可扩路。 寻找可扩路的一个有效方法是标记法，其基本思想如下： 设G=?V1,V2,E?是二部图，在G中作一个匹配M，用(*)标记V1中所有M的非饱和点，然后交替地进行以下①和②两步： ①选一个V1的新标记过的结点，比如说ai，用(ai)标记不通过M中的边与ai邻接且尚未标记过的V2的所有结点。对V1所有新标记过的结点重复这一过程。 ②选一个V2的新标记过的结点，比如说bi，用(bi)标记通过M中的边与bi邻接且尚未标记过的V1的所有结点。对V2所有新标记过的结点重复这一过程。 直至标记到一个V2中的M的非饱和点。从该结点倒向追踪到标记有(*)的结点，就得到了一个M可扩路。把M可扩路中所有属于M的边从M中去掉，而把M可扩路中所有不属于M的边添加到M中，得到一个新的匹配M′且其所含边数比匹配M所含的边数多1。对M′重复上述过程，……，直到G中已不存在可扩路，此时的匹配就是最大匹配。 【例9.15】图9.60是二部图，求其最大匹配。 解：取二部图图9.60的一个匹配M= ?(a3,b1), (a5,b2)?。用(*)标记V1中所有M的非饱和点a1, a2, a4。 ①选V1的新标记过的结点a1，用(a1)标记不通过M的边与a1邻接且尚未标记过的V2的结点b1；类似地用(a2)标记b2。 ②选V2的新标记过的结点b1，用(b1)标记通过M的边与b1邻接且尚未标记过的V1的结点a3；类似地用(b2)标记a5。 ③选V1的新标记过的结点a3，因为不存在不通过M的边与a3邻接的V2的结点，所以不用(a3)标记V2的结点；用(a5)标记b3或b4，假定用(a5)标记b3。如图9.60所示。 b3是M的非饱和点，标记结束。 从b3倒向追踪到标记有(*)的结点，就得到了M可扩路：a4b2a5b3或a2b2a5b3，取后者。把M可扩路a2b2a5b3中的边(a5,b2)从M中去掉，而把(a2,b2)和(a5,b3)添加到M中得到新的匹配M′=?(a3,b1), (a2,b2), (a5,b3)?，如图9.61所示。 对匹配M′= ?(a3,b1), (a2,b2), (a5,b3) ?再用标记法： 用(*)标记V1中所有M′的非饱和点a1和 a4。 ①选V1的新标记过的结点a1，用(a1)标记不通过M′的边与a1邻接且尚未标记过的V2的所有结点b1；再用(a4)标记b2。 ②选V2的新标记过的结点b1，用(b1)标记通过M′的边与b1邻接且尚未标记过的V1的所有结点a3；再用(b2)标记a2。 ③选V1的新标记过的结点a2和a3，V2中已无可标记的结点。 图中已不存在可扩路，所以M′就是最大匹配。 【例9.16】图9.62是二部图，求其最大匹配。 解：取二部图图9.62的一个匹配 M=?(a2,b2), (a3,b3), (a5,b5)?。用(*)标记V1中所有M的非饱和点a1, a4。 ①选V1的新标记过的结点a1，用(a1)标记b2和b3。 ②选V2的新标记过的结点b2和b3，用(b