【硕士论文】一类拟线性椭圆方程解的存在性问题.pdfVIP

摘要 摘要 本文主要考虑拟线性椭圆方程z 哪∥ 勺 U 蜒R (1．I) ，●J、●＼ U}∈Ⅳ卜× №双 ～畎lI动以．f砖q r…‰一 ∞ 的非平凡解的存在性问题．其中k0是常数，4≤POO，函数v(x)满足下面条 件： (M)矿(z)是一个正的，有界的且局部HOlder连续函数； (K)存在％o，使得．1．imy(z)=％，y@)≥K； lZ卜_too (K)存在正的常数c，7n，‰，使得 m)一K≥南，lzI≥吼· 本文共分为四章． 第一章，介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明． 第二章，运用Nehari方法讨论方程(1．1)，并得到一个非平凡正解的存在性结 果； 第三章，讨论了方程(1．1)在满足Ⅵ、(比)、(％)的条件下，变号解的存在性 结果． 第四章，讨论在群G作用下不变的椭圆方程 r蚪时七A扎(倒u2)u(=∽f@∥L蜒则 解的存在性情况．其中，(z，¨)是超线性和次临界函数，且在群G作用下不变， 即，厂(9．E，f，)一，(上，t正)，Vg∈G，z∈Ⅱ毫N． 关键词；拟线性椭圆方程；变分法；非甲凡解；正解；变号解 中文文摘 中文文摘 在数学、物理学，生物学、医学和控制论等诸多科学领域中出现了各种各样的 非线性问题，且在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析中一个非常 重要的分支一非线性泛函分析．它主要包括变分法，不动点方法和拓扑度方法等内 容，为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤 其在处理应用科学提出的各种非线性问题中发挥着不可替代的作用．目前实际问题 中不断涌现出大量的非线性微分方程问题，需要人们深入研究，在这一过程的非线 性分析中，变分法已经一次又一次地被证明是解决微分方程初值问题的强有力的工 具之一．微分方程中的变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以便运用分析 的方法考虑方程解的存在性、解的个数及求其近似解的方法。即将研究方程的解转 化为该微分方程所对应的能世泛函(EuleroLagrange泛函)的临界点，其中微分方 程的弱解就是其临界点，于是寻找泛函的临界点成为解决问题关键所在．迄今为止 经过许多数学工作者长期努力的研究，这种分析方法逐渐形成了一个解决非线性问 题的数学方法一变分法． 本文正是运用这种变分法考虑一类拟线性椭圆方程非平凡正解、变号解的存在 性问题．我们的方法和技巧主要是受文【1，2，9，11】的启发． 本文主要考虑拟线性椭圆方程： f一“Ⅳ+¨+k(u2)Ⅳu=y(z)IuIp一2u，名∈R (1．1) 【 ¨∈111(R)，让(z)一0， M_O。 的非甲凡解的存在性问题．其中k0是常数，4≤P∞，函数v(x)满足下面条 件： (Ⅵ)v(x)是一个正的，有界的且局部HOlder连续函数； (K)存在K0，使得．]．ilnv(x)=K，v(x)≥Vo； l罩I·o∞ (¨)存在正的常数G，m，‰，使得 ¨∞“≥斋，川≥％ 本文共分为四章． 第一章，一些预备知识，通过介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及 ‘蝗记号说叨，以便后面各’啦节的应用． III 福建师范大学李文明硕士学位论文 第二章，这一章主要是运用Nehari方法讨论方程(1．