《2013高考数学（理）一轮复习教案：第八篇 立体几何第8讲 立体几何中的向量方法(二)》.doc

第8讲　立体几何中的向量方法(二) 【2013年高考会这样考】 考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小． 【复习指导】 复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系． 基础梳理 1．空间的角 (1)异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′a，b′b.则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则AOB叫做二面角的平面角．2．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 ()如图，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． ()如图，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 三种成角 (1)异面直线所成的角的范围是； (2)直线与平面所成角的范围是； (3)二面角的范围是[0，π]． 易误警示 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 双基自测 1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是(　　)．A．90° B．30° C．45° D．60° 解析　cos〈a，b〉＝＝， 又〈a，b〉[0，π]，〈a，b〉＝60°. 答案　D 2．(人教A版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　)． A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 解析　cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45°，其补角为135°， 两平面所成的二面角为45°或135°. 答案　C 3．(2011·德州月考)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　设l与α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，θ＝30°. 答案　A 4．在如图所示的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　如图建立直角坐标系D-xyz，设DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则＝(－1,1,0)，＝，若异面直线DE与AC所成的角为θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. 答案　D 5．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1底面ABC，AB＝BC＝AA1，ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝BC＝AA1＝2， 则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1) 则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ·＝2， cos〈，〉＝＝， EF和BC1所成角为60°. 答案　60° 　 考向一　求异面直线所成的角 【例1】(2011·上海高考改编)已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求 (1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值； (2)四面体AB1D1C的体积． [审题视点] 建立恰当的空间直角坐标系，用向量法求解，注意角的范围． 解　(1)如图建立空间直角坐标系A1-xyz，由已知条件： B(1,0,2)，D(0,1,2)， A(0,0,2)，B1(1,0,0)． 则＝(－1,1,0)， ＝(1,0，－2) 设异面直线BD与AB1所成角为θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. (2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝. 异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线