《2013高考数学（理）一轮复习教案：第八篇 立体几何第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质》.doc

第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质 【2013年高考会这样考】 1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合． 2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力． 3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题． 【复习指导】 1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力． 2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口． 基础梳理 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 定义法． 利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． 垂直于同一个平面的两条直线平行． 垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 一个关系 垂直问题的转化关系 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 定义：两条直线所成的角为90°； 平面几何中证明线线垂直的方法； 线面垂直的性质：aα，bα?a⊥b； 线面垂直的性质：aα，bα?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直a⊥α； 判定定理1：l⊥α； 判定定理2：ab，aα?b⊥α； 面面平行的性质：αβ，aα?a⊥β； 面面垂直的性质：αβ，α∩β＝l，aα，al?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； 判定定理：aα，aβ?α⊥β. 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列条件中，能判定直线l平面α的是(　　)．A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 解析　由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 答案　D 2．(2012·安庆月考)在空间中，下列命题正确的是(　　)． A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析　选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确． 答案　D 3．(2012·兰州模拟)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac； 若aγ，bγ，则ab； 若aγ，bγ，则ab. 其中真命题的序号是(　　)． A． B． C． D． 解析　由公理4知是真命题．在空间内ab，bc，直线a、c的关系不确定，故是假命题． 由aγ，bγ，不能判定a、b的关系，故是假命题．是直线与平面垂直的性质定理． 答案　C 4．(2011·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　)． A.c⊥β B.?b⊥c C.?c∥α D.?b⊥α 解析　由aα，bα可得b与α的位置关系有：bα，bα，b与α相交，所以D不正确． 答案　D 5．如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为________． 解析　由线面垂直知，图中直角三角形为4个． 答案　4　　 考向一　直线与平面垂直的判定与性质 【例1】(2011·天津改编)如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO平面ABCD. 证明：AD平面PAC. [审题视点] 只需证ADAC，再利用线面垂直的判定定理即可． 证明　ADC＝45°，且AD＝AC＝1. DAC＝90°，即ADAC， 又PO平面ABCD，AD平面ABCD， PO⊥AD，而AC∩PO＝O， AD⊥平面PAC. (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；a∥b，aα?b⊥α；α∥β，aα?a⊥β；面面垂直的性