第4章 曲线和曲面.pptVIP

第四章 曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 第二节 Hermite多项式 第三节 Coons曲面 第四节 Bezier曲线和曲面 第五节 B样条曲线和曲面 第一节 曲线和曲面表示的基础知识 1.显式、隐式和参数表示 ①显式： y=f(x) 不能表示封闭曲线或多值曲线（圆） ②隐式：f(x,y)=0,f(x,y,z)=0 球面 显式或隐式表示的缺点 （1）与坐标轴相关的，不便于坐标变换； （2）无法解决斜率为无穷大的情况； （3）对于空间复杂曲线曲面很难表示 （4）不便于计算和编程 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。 插值 要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。 逼近 构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼近（approximation）。 参数连续性 一函数在某一点x0处具有相等的直到k阶的左右导数，称它在x0处是k次连续可微的，或称它在x0处是k阶连续的，记作Ck。几何上C0、C1、C2依次表示该函数的图形、切线方向、曲率是连续的。参数曲线的可微性称为参数曲线的连续性。 几何连续性 两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处参数导数成比例而不是相等，则称它们在该点处具有k阶几何连续性，记作Gk 。零阶几何连续G0与零阶参数连续C0是一致的。一阶几何连续G1指一阶导数在两个相邻曲线段的交点处成比例，即方向相同，大小不同。二阶几何连续G2指两个曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。 光顺 光顺（smoothness）是指曲线的拐点不能太多，要光滑顺畅。对于平面曲线相对光顺的条件应该是： （1）具有二阶几何连续（G2）； （2）不存在多余拐点和奇异点； （3）曲率变化较小。 2. 已知表示一条曲线的某个函数f(t)在两点t0，t1的函数值f(t0), f(t1)和一阶导数值f’(t0), f’(t1)，求三次多项式P(t): 将关于u的混合函数代入，所求的三次多项式成为： 令 得 4.曲线拼接 对一般的Hermite插值问题，一般来说得到的插值多项式次数较高，应用起来不方便。通常的处理办法是将前面给出的参数的三次多项式逐段光滑地连接，如此来确定一般情况下的插值多项式。 将前面t0和t1视为ti和ti+1，设给定f(ti)，f(ti+1)，f’(ti)，f’(ti+1)，则在区间[ti，ti+1]的Hermite三次插值多项式Pi(t)是： 为了完整地写出这个插值多项式，可以在区间[ti，ti+1]中引入如下一些基本函数： 例：设在平面上有两点P0，Pl，它们的位置向量分别为(1，1)，(4，2)，在P0的导数值即在该点的切线向量P’0 =(1，1)，在Pl处P’1 =(1，-1)，构造曲线。 第三节 Coons曲面 uw表示了曲面片的方程 0w，1w，u0，u1四条边界曲线 u0u边界线的切向量 u0w 边界线的跨界切向量 uwuu,uwuw,uwww曲面片uw关于u和w的二阶偏导数向量 u0uu 表示边界线u0上的二阶切向量 u0ww表示边界线u0上的二阶跨界切向量 uwuw为曲面片P在点(u,w)处的扭曲向量。 00，01，10，11表示曲面片四个角点 00w，01w，10w，11w，00u，01u，10u，11u 四个角点的切向量 00uw，01uw，10uw，11uw四个角点的扭曲向量 构造具有指定边界曲线的曲面片: Coons给出的一个解法是：寻找两个混合函数f0(t)和f1(t)，它们是连续的，并且满足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0≤t≤1。 f0(t)=2t3-3t2+1,f1(t)=-2t3+3t2 f0(t)＝1-t,f1(t)=t 利用这样的混合函数，通过四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。 设已知四条边界曲线u0，u1，0w，1w 及沿这四条边界曲线的跨界切向量 u0w，u1w，0wu，1wu。 求出四个角点的位置向量00，01，10，11， 切向量00w，01w，10w，11w， 00u，01u，10u，11u， 扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw， 写出符合要求曲面片的数学表达式如下： 问题3：指定四个角点以及在这些点上的切向量和扭曲向量后，求解曲面的表达式。计算求得四个角点的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u，1