8.4-几种特殊的格.pptVIP

§8.4 几种特殊的格 有 界 格 有 余 格 分 配 格 模 格 § 有界格 引理1 设(L,≤)是一个格。若S是L的任意一个有限非空子集，则S有一个最大下界和一个最小上界。 记集合S的最大下界为infS； 集合S的最小上界为supS。 注：对于格的一个无穷子集，引理1的结论不成立。 例：在格(I+,≤)中，所有正偶数组成的集合记为E+，显然，E+?I+，但E+没有最小上界。 格(L,≤)称为有界格，如果它有一个最大元素(记为1)和一个最小元素(记为0)，亦即，对任意a∈L，都有0≤a≤1，0, 1称为格(L,≤)的界。 结论：有限格必是有界格。 令L={a1,…,an}，0=a1×a2×…×an，1=a1⊕a2⊕…⊕an 引理2 若(L,×,⊕, 0, 1)是有界格，则对任意a∈L，恒有： a⊕0=a，a×1=a， a⊕1=1，a×0=0。 在有界格(L,×,⊕, 0, 1)中，一个元素b∈L，称为元素a∈L的余元素，如果 a×b=0，a⊕b=1 引理3 在有界格(L,×,⊕, 0, 1)中，1是0的唯一一个余元素，反之亦然。 证明：由引理2，0×1=0，0⊕1=1，所以，0,1互为余元素。 若c∈L，且c≠1，c是0的余元素，0×c=0，0⊕c=1。 但是，由引理2知，0⊕c=c。 故，c=1，矛盾。 § 有余格 称有界格(L,×,⊕, 0, 1)是一个有余格，如果对L中每一个元素，都至少有一个余元素。 例：n维格(Ln,≤n)是一个有余格，其中1n=(1, 1,…, 1)，0n=(0, 0,…, 0)是界。对任意Ln中元素(a1, …, an)，元素(b1, …, bn)是其余元素，其中： 例： 设S是有n个元素的集合，ρ(S)是S的幂集合，于是，(ρ(S), ?)是有余格。 其中，?和S是此格的界。 对ρ(S)中任意元素A，ρ(S)中的元素S-A是其余元素。 引理4 任意一个链都是一个分配格。 证明：设格(L,≤)是一个链，任取a,b,c∈L， 1)若a≥b且a≥c，于是a≥b⊕c，故 a×(b⊕c)=b⊕c 而a×b=b，a×c=c，所以： (a×b)⊕(a×c)=b⊕c 故a×(b⊕c)=(a×b)⊕(a×c)。 2)若a≤b或者a≤c，于是a≤(b⊕c)， 故a×(b⊕c)=a。而(a×b)⊕(a×c)=a 所以a×(b⊕c)=(a×b)⊕(a×c)。 设格(L,×,⊕)是分配格，对任意a,b,c∈L，如果a×c=b×c，a⊕c=b⊕c，则有a=b。 证明：若(L,×,⊕)是分配格，且a×c=b×c，a⊕c=b⊕c，则： a=a×(a⊕c)=a×(b⊕c) =(a×b)⊕(a×c)=(a×b)⊕(b×c) =b×(a⊕c)=b×(b⊕c) =b 推论 设格(L,×,⊕)是一个有余分配格，则对任意a∈L，a的余元素a是唯一的。 证明：因(L,×,⊕)是有余格，设a和a’’都是a的余元素，即 a×a=0，a⊕a=1 a×a’’=0，a⊕a’’=1 故a×a=a×a’’，a⊕a=a⊕a’’。 ，a=a’’。 § 模格 设(L,≤)是一个格，对任意a,b,c∈L，如果a≤b，都有： a⊕(b×c)=b×(a⊕c) 则称(L,≤)为模格。 注意： 1)任意一个分配格都是模格，由a≤b， a⊕b=b，故： a⊕(b×c)=(a⊕b)×( a⊕c) =b×(a⊕c) 2)模格不一定是分配格。 例： 如图所示，L={0,1,b1,b2,b3}。则， 格(L,×,⊕)不是分配格： b1×(b2⊕b3)=b1 (b1×b2)⊕(b1×b3)=0。 格(L,×,⊕)是模格： 1)当a=1时，若a≤b，则b也一定是1。故 a⊕(b×c)=1⊕(1×c)=1 b×(a⊕c)=1×(1⊕c)=1×1=1。 2)当a=0时，若a≤b，则b可能为0,b1,b2,b3,1。故 a⊕(b×c)=0⊕(b×c)=b×c b×(a⊕c)=b×(0⊕c)=b×c。 3)当a=b1,b2,b3之一时， 若a≤b，则b是1或a。 ①若b=1，则： a⊕(b×c)=a⊕(1×c)=a⊕c b×(a⊕c)=1×(a⊕c)=a⊕c ②若b=a，则： a⊕(b×c)=a⊕(a×c)=a b×(a⊕c)=a×(a⊕c)=a 综上，对任意a,b,c∈L，