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§8.5 布尔代数 布尔代数的定义及其性质 有限布尔代数的表示理论 布尔代数的同态与同构 § 布尔代数的定义及其性质 一个有余分配格是一个布尔代数。一个布尔代数可记为(B, · , +,ˉ, 0, 1)。 设(B, · , +,ˉ, 0, 1)是一个布尔代数，a,b,c是集合B中任意元素，于是，它有如下性质： (一)因为(B, · , +)是一个格，所以有： 1)a·a=a， 1’)a+a=a。 2)a·b=b·a， 2’)a+b=b+a。 3)(a·b)·c=a·(b·c)，3’)(a+b)+c=a+(b+c)。 4)a·(a+b)=a， 4’)a+(a·b)=a。 布尔代数的性质 (二)因为(B, · , +)是分配格，所以有： 5)a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， 5’)a+(b·c)=(a+b)·(a+c)。 6)(a·b)+(a·c)+(b·c)=(a+b)·(a+c)·(b+c)。 7)若a·b=a·c，a+b=a+c，则b=c。 (三)因为(B, · , +, 0, 1)是有界格，所以： 8)0≤a≤1。 9)a·0=0， 9’)a+1=1。 10)a·1=a， 10’)a+0=a。 Huntington公理 设B是一个至少含有两个不同元素的集合，·,+是定义在B上的两种代数运算，如果对任意a,b,c∈B，满足下面公理： H1：a·b=b·a，a+b=b+a。 H2：a·(b+c)=(a·b)+(a·c)， a+(b·c)=(a+b)·(a+c)。 H3：B中有元素0和元素1，使得对任意a∈B，有a·1=a，a+0=a。 H4：对任意a∈B，有 ∈B，使得 则(B, · , +,ˉ, 0, 1)是一个布尔代数。 证明：只需证明 (B, · , +)是格，并且0, 1是此格的最小，最大元素。于是，根据H4，它就是一个有余格，再根据H2，它又是一个分配格，故它是布尔代数。 首先，往证对偶原理在代数(B, · , +)中成立。由于公理H1～H4是对偶的，所以如果从H1～H4出发能推导出结论c，则c的对偶式c* 也可由H1～H4推导出来. 其次，对任意a∈B，有 a+1=(a+1)·1 (由H3) =1·(a+1) (由H1) =(a+ )·(a+1) (由H4) =a+( ·1) (由H2) =a+ (由H3) =1 (由H4) 再次，若a+b=a+c， +b= +c。则b=c。 事实上， (a+b)·( +b)=b+(a· ) (由H2) =b+0 (由H4) =b (由H3) (a+c)·( +c)=c+(a· ) (由H2) =c+0 (由H4) =c (由H3) 故b=c。 下面证明(B，·，+)是一个格。 由H1知，此代数满足交换律。 因为： 　　a+(a·b)=(a·1)+(a·b) (由H3) =a·(1+b) (由H2) =a·1 (由上面的证明) =a (由H3) 所以，此代数满足吸收律。 令L=a·(b·c)，M=(a·b)·c，于是： a+L=a+(a·(b·c)) =a (由吸收律) a+M=a+((a·b)·c) =(a+a·b)·(a+c) (由H2) =a·(a+c) (由吸收律) =a (由吸收律) 所以： a+L=a+M。 而 + L= +(a·(b·