6.3 置 换 群-黑底.pptVIP

§6.3 置 换 群 置换的定义 置换的轮换表法 置换的顺向圈表示 置换的奇偶性 置换的定义 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一变换称为一个置换。 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为 σ＝ ，bi=σ(ai)，i=1,2,…,n 结论：M的置换共有n！个。 M上的置换称为n元置换。 特别地， 若σ(ai)=ai, i=1,2,…,n,则σ为n元恒等置换。 Sn: n！个置换作成的集合。 置换的例 设M={1，2，3}，则有3！=6个3元置换， 所有元素不动：σ1＝ 一个元素不动：σ2＝ σ3＝ σ4＝ 0个元素不动：σ5＝ σ6＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6} 置换的乘法 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ，规定στ（a）=σ（τ（a））。 例. 设σ＝ ，τ＝ 则στ= ， τσ= ≠ στ 置换的乘法的性质 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。 Sn中有单位元: n元恒等置换，设为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn 每个n元置换在Sn 中都有逆元素: = n次对称群 n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 n=1，M={a}， S1={ }—在置换的乘法作成1次对称群，为Abel群。 n=2, M={a，b}, S2={ , }.在置换的乘法作成2次对称群，为Abel群。 当n≥ 3时，Sn不是交换群。 置换的轮换表法轮换的定义 轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素a1, …,ar 使 σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素（自己变换到本身），则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ） 例σ＝ =（134）=（341）=（413） 不相杂轮换 M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs 都不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ?) 不相杂轮换 同理可证，若χ ∈｛b1,…,bs｝， ，也有στ（χ）=τσ（χ）。 设χ ? {a1,…,ar,b1,…,bs}, 于是， στ（χ）=σ（χ）=χ， τσ（χ）=τ（χ）=χ。 综上，στ（χ）=τσ（χ），故 στ=τσ。 不相杂轮换 任意置换σ恰有一法写成不相杂的 轮换乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂的 轮换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺 序，则写法是唯一的(唯一性)。 证明 若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作法又可得到一个轮换（b1…bs）。因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最后必得 σ=(a1…ar)(b1…bs) …(c1…ct) (1) 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。 证明 （2）唯一性. 设σ又可表为不相杂的轮换的乘积如下： σ=(a’1…a’r’)(b’1…b’s’) …(c’1…c’t’) (2) 考虑(1)式中任意轮换(a1…ar)。 不妨设 a1∈{a’1…a’r’}，且a1＝a’１。 于是，a2=σ（a1）=σ（a’1）= a’2，， a3=σ（a2）=σ（a’2）= a’3，…， 对换 轮换的长度 其中所含的元素个数。 （a1a2…ar）长度为r。 对换 长度为２的轮换。 结论. 任意轮换可以写成对换的乘积。 (a1a2…ar)＝(a1ar)(a1ar－１)…(a1 a3)(a1a2) (3) 证明：对r进行归纳，当r=2时命题显然成立，假设r=t时结论为真，考虑σ=(a1a2…arat+1)的情况。令σ1=(a1at+1)， σ2=(a1a2…at)，下面证明