6.7 环 同 态.pptVIP

理想 定义. 设R是一个环，R的一个子集N说是R的一个理想子环，简称理想，如果 （1）N非空； （2）若a∈N,b∈N,则a-b∈N; （3） 若a∈N,х∈R,则 aх∈N,хa∈N。 平凡理想：{0}，R 理想的例 设R为实数域上的二阶正方矩阵环， 形如 的所有元素组成的子集为 N，则N为R的子环，但不是R的理想。 比如，取x= ∈R，a= ∈N，则 xa = ? N。 理想的例 设R=（Z,+,*)是整数环，则nZ是R的理想，其中n为自然数，容易看出(nZ,+)是Abel群。任取k?Z，有knz ? nZ和nzk ? nZ。即knZ?nZ和nZk ?nZ，所以nZ是R的理想。 结论1. 理想一定是子环,但子环未必是理想。 结论2. 任意体R只有平凡理想。 证明： 任取R的理想N，若N={0}，则得证。否则，往证N=R。 因N≠ {0}，故存在a∈N，且a≠ 0。 于是有a的逆元素a-1∈R。由N为理想知，有 a-1 a∈N，即R中的1∈N。 从而对R中任意元素x，都有x = 1x∈N。 因此，R ? N。故N=R。 例子 设R是含1的交换环，且1?0，则R是域当且仅当R只含平凡理想。 证明：必要性证明如结论2。 充分性，任取x∈R,x≠0 ,则易证D=Rx={rx?r∈R}是R的理想，从而有Rx=R,这就证明了存在y∈R，使得yx=1,y是x的逆元。即R是交换体（域）。 结论3. 设R是有壹的交换环，a∈R，则 aR={ar | r∈R}是R的理想，而且包含a。 证明： (1)aR非空，因为0=a0∈aR，a=a1∈aR。 (2)若x∈aR，y∈aR，则存在r1，r2∈R， 使得x=ar1，y=ar2，故 x-y = a（r1-r2） ∈aR (3) 若z∈aR，r∈R，则存在r3∈R，使得 z = ar3， 故 zr = ar3r = a(r3r)∈aR，rz = rar3 =a(r r3)∈aR。 因此，aR是含a的理想。 主理想结论 定义. 设R是有壹的交换环，a∈R，则aR称为由a生成的主理想，记为（a）。 (a)=aR=R在什么条件下成立?什么条件下不成立为什么? 结论4. 环R的主理想（a）是R中包含a的理想中最小（在集合包含关系下）的理想。 证明：设N是R中包含a的任一理想，往证（a）? N。 任取x∈(a)，即x∈aR，则存在r∈R，使得x=ar。由a∈N， r∈R，N是理想知，ar∈N，即x∈N。所以，（a）? N。 环 中 合 同 关 系 定义. 设R是一个环，N是一理想。对于a，b∈R，如果 a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N， 则称a和b模N合同，记为 a≡b (mod N)。 N的一个剩余类:N的一个陪集。 含a的剩余类:a+N. 例 设环R=(Z,+, ?)是整数环，4Z={4k?k?Z}是R的理想，0+N={…,-4,0,4,8,…},1+N={…,-3, 1,5,9,…}都是N的剩余类。 例. 设R为整数环I，N=（m）=mI，则 a≡b（mod N），即a-b∈mI或m∣a-b，即 a≡b（mod m）。 环中合同关系的性质 在环R中，对于模N，有 (1)反身性：a≡a; (2)对称性：若a≡b，则b≡a; (3)传递性：若a≡b，b≡c，则a≡c; (4)加法同态性：若a≡b,c≡d,则a±c≡b±d。 (5)乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。 证明 (1)至(3)在群中已证，不过是加法群R模加法子群N的合同性。 （4）因为a≡b,c≡d,故a+N = b+N,c+N = d+N,于是 a±c+N = a+N±（c+N）= b+N±（d+N）= b±d+N, 即a±c≡b±d。 （5）因为a ≡ b，c≡d，故a = b+n1，c = d+n2，n1∈N，n2∈N。于是 ac =bd+ bn2 + n1d + n1n2。 但N是一个理想，故bn2∈N，n1d∈N，n1n2∈N， 因而bn2 + n1d + n1n2∈N，故ac≡bd. 环同态与同构 定义. 设R是一个环,S是有加、乘两种运算的系统，称R到S中的映射σ是环R到S中的同态映射，如果 σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)。 若R到R’上有一个同态映射,则称R与R’同态,记为 R～R′。 定义. 若σ是环R到系统R’上的一对一的同态映射，则称σ是R到R’上的同构映射或同构