实验报告(列主消元解方程).docVIP

实验报告 课程名称： _ 计算方法________________指导老师：______辛焕海______成绩：__________________ 实验名称：_______列主元消去法求解方程组____________实验类型： 上机实验________ 引言（背景等介绍） 问题描述（如目的等）（必填） 内容和原理（必填） 操作方法和实验步骤（流程图等）（必填） 实验数据记录和处理 实验结果与分析（必填） 讨论、心得 引言 利用克莱姆法则解方程组，计算量特别大。对于维数较高的矩阵，计算机也无能为力。因此在实际解方程组时，大多应用高斯消去法，乘法次数是维数n的三次方级别。而高斯消去法是“一锤子买卖”，对于不同的方程组解b向量，该方法又要重新进行消去，计算重复较慢。因此，将A矩阵实现L、U分解能很好地保留中间过程，对于不同的b只需作矩阵乘法即可得到解x.。当主对角元有0元素或绝对值较小元素时，高斯消去法会出现很大的数值误差，因此要对列元素进行比较，每次消去前作行交换，将绝对值最大的元最为除数，这就得到了列主元消去法。应用matlab编程，得到求解方程组的过程，计算十分方便。 问题表述 用列主元消去法求解方程组 计算解X 输出矩阵L U P 内容和原理 首先将A进行分解，使得PA=LU 对A矩阵第i列（i=1,2,3’’’n）依次进行判别，每次选择出绝对值最大的值作为分母，对A实行行变换，用P矩阵记录变化。再利用公式A(t,i)=A(t,i)/A(i,i) 在原矩阵上进行修改，再输出下三角矩阵L和上三角矩阵U，最后利用P、L、U对b进行计算，解出X向量。 流程图表述如下 实验步骤和实验结果 打开matlab程序 2. 编制程序源代码，如下图 3、运行结果如下 因此，该程序源代码记录如下 clear all A=input(输入需要分解的矩阵); b=input(输入方程的解); b=b; n=size(A); L=eye(n); U=zeros(n); P=eye(n); for(i=1:n-1) temp=abs(A(i,i)); x=i; for(t=i:n) %找出最大元，实现行交换，P记录行交换% if abs(A(t,i))temp temp=abs(A(t,i)); x=t ;end;end temp2=A(i,:); A(i,:)=A(x,:); A(x,:)=temp2; temp2=P(i,:); P(i,:)=P(x,:); P(x,:)=temp2; for(t=i+1:n) %在原矩阵上变换得到LU% A(t,i)=A(t,i)/A(i,i);end for(t=i+1:n) for(m=i+1:n) A(t,m)=A(t,m)-A(t,i)*A(i,m);end end end for(i=2:n) for(t=1:i-1) L(i,t)=A(i,t); end end for(i=1:n) for(t=i:n) U(i,t)=A(i,t); end end L U P x=U^(-1)*L^(-1)*P*b 最终输出得到方程组的解为x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=1,L、U、P矩阵输出如上图。 讨论与心得 对于满秩矩阵，LU三角分解法能很好、快速地实现分解，找出方程组的解。而对于A不满秩的情况，尽管能实现形式上的L、U分解，但得到的U矩阵不可逆，因此无法求出方程组的解，在使用前还需要判断det(A)是否等于0.对于det(A) 0的情况，运行结果如下。 尽管如此，matlab提供的数组运算功能十分强大， 为编程提供了许多便利，省去了C语言中利用循环遍历数组的麻烦。 专业：电气工程及其自动化 姓名：_朱超越____ _______ 学号：3100103453________ 日期：_2012/3/18_________