毕业论文：二次曲线的主方向和曲面的主方向及其联系.docVIP

2011届本科毕业论文 题目：二次曲线的主方向和曲面的主方向及其联系 学 院： 数学科学学院 专业班级：数学与应用数学06-4班 学生姓名：古丽努尔.艾麦提 指导教师：阿斯亚﹒阿布都米吉提 答辩日期：2011-5-11 新疆师范大学教务处 目 录 引言 1 1二次曲线的主方向 1 2曲面的主方向 3 3二次曲线的主方向和曲面的主方向的联系 6 总结 7 参考文献 8 致谢 9 二次曲线的主方向和曲面的主方向及其联系 摘要：本文章是二次曲线的主方向和曲面的主方向重要概念基础下，讨论它们的联系为目的而进行的。也就是说，本文章首先讨论了二次曲线的定义，它的求法，特征方程和特征根。然后以曲面的第一，第二基本形式，法曲率，迪潘指标线共轭方向为基础下讨论了曲面的主方向。最后用具体地例子来研究了二次曲线的主方向和曲面的主方向的联系。 关键词：二次曲线；主方向；特征根；迪潘指标线；曲面；主曲率 引言 解析几何是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课对于掌握微分几何的内容也有很大的帮助，所以这两门课程的内容有着密切的关系。本文章的主要目的也是讨论解析几何中的“二次曲线的主方向”和微分几何中的“曲面的主方向”及其它们的联系。 本文章论证严谨，同时又力求简明，叙述上深入浅出，条理清楚，让读者很容易掌握里面的内容。 1二次曲线的主方向 定义：为二次曲线 ==0的一非渐近方向，若共轭与该方向的直径： （2-1） 与方向垂直，则称这直径为二次曲线的主直径；而直径（2-1）方向及方向均成为二次曲线的主方向。 主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴。 如果二次曲线为中心曲线，那么根据主方向的定义： 非渐近方向X:Y为 主方向X:Y与共轭方向=垂直 = 因此X:Y成为中心二次曲线的主方向的条件是 成立，其中≠0，或把它改写成 可见，这是一个关于X,Y的齐次线性方程组，而X,Y不能全为零。 所以 =0 即 可见，若求二次曲线的主方向,只需先求方程式的根，再代入式就能得到它的主方向。 如果二次曲线为非中心二次曲线，那么它的任何任直径的主方向总是它的唯一的渐近方向 而垂直与它的方向显然为 所以非中心二次曲线的主方向为 渐近主方向 非渐近主方向 如果我们把式或式推广到非中心二次曲线，即式中的可取等于零，这样当时，方程式的两根为 ， 把它代入式所得的主方向，正是非中心二次曲线的渐近主方向与非中心二次曲线主方向。 定义：方程式成为二次曲线的特征方程，其根成为曲线的特征根。 性质：二次曲线的特征根全为实数 事实上， 二次曲线的特征根不全为零。 事实上，若不然，则 即 所以 这不可能 定理：主方向为渐近主方向对应与方向的特征根为0。 证：设主方向对应的特征根为， 所以 因为X,Y全为实数，且不全为零 所以 定理： 中心二次曲线至少有两条主直径，具体地，圆的任意实直径均为主直径，非圆的中心曲线仅有两条即相垂直又相共轭的主直径 无心二次曲线只有一条主直径。 线心曲线的主直径就是唯一的主直径，赤即中心直线或渐近线。 2曲面的主方向 设S：是一个曲面，矢函数的微分是 其系数， ， 是的可微函数，也可以看成曲面上的函数。 定义：称是曲面的第一基本形式，、 是曲面的第一基本量。 曲面的第一基本形式也叫做曲面的弧长元素，可以用来计算曲面上曲线的弧长，曲面上区域的面积及曲面上两曲线的夹角等。 定义：称是曲面的第二基本形式，其系数 ， ， 是曲面上的函数，成为曲面的第二基本量。 第二基本形式反映曲面在一点附近沿方向的弯曲情况，它也告诉我们在这一方向朝切平面的