559-贝氏估计与WinBUGS 在社会科学的应用.pptVIP

貝氏估計與WinBUGS 在社會科學的應用 蔡佳泓 政大選舉研究中心 貝氏定理基礎 根據機率的定義，聯合機率是條件機率與邊際機率之乘積 Pr(θ, y)=Pr(θ)Pr(y|θ) 故Pr(θ|y)=Pr(θ, y)/Pr(y) =Pr(θ)Pr(y|θ)/Pr(y) 因為Pr(y)可視為常數，故 Pr(θ|y)=Pr(θ)Pr(y|θ) 例子 假設N個選民之中投給歐巴馬的比例為y，N-y投給麥侃，y為一種二元分布 y~(N/y) θy(1- θ)N-y ?Pr(y| θ) 因為Beta分布介於0與1之間，所以是對於二元分布而言是一個合適的先驗資訊Pr(θ) 假設我們的調查資料顯示400個受訪者中有240人投歐巴馬，那麼資料顯示的參數為(240, 160) ，樣本平均值θ為0.6 我們若假設有五成會投歐巴馬，那麼參數為(50, 50) 根據Beta分布，參數為αp+y以及βp+N-y，也就是(290, 210)樣本平均值為αp+y/(αp+y +βp+N-y) = 0.58 R的模擬 R的模擬—4000個樣本 貝氏定理延伸 給定觀察到的資料，研究者對於參數的推論來自於一個先驗的資訊乘上一個概似值 π(θ|data)= π(θ)* f(data| θ) 而π(θ)有可能等於常數， 故π(θ|data)= f(data| θ) 概似(Likelihood) 定義：一個聯合機率由某未知的參數所組成 例：常態分佈yi~N(μ,σ2) i=1,…,n 為了估計μ,σ，使用最大概似法 L (μ,σ2 |y) =ПΦ (yi|μ,σ2) = П[(2πσ2)-1/2 ]exp(-(yi- μ)2/2 σ2]--常態分佈cdf MLE缺點 經由各種MLE的估計方法求出讓該式極大化的μ,σ，例如Newton-Raphson, quasi-Newton, EM algorithm等等。 從估計出的參數，可以得到信賴區間，或是驗證虛無假設，例如係數是否為0。 MLE的估計建立在漸進(asymptotic)假設，也就是需要一定數目的樣本。如果樣本小，那麼需要用Monte-Carlo模擬確定估計的正確性。 貝氏分析1 回到yi~N(θ,σ2) i=1,…,n 假設σ2已知 θ ~N(μ0,τ02) 或f(θ)=exp(-(θ- μ0)2/2τ02) 而f(y| θ,σ2)= П[(2πσ2)-1/2 ] exp(-(yi- θ)2/2 σ2]=exp[(-Σ (yi- θ)2)/2 σ2 ] 貝氏分析2 f(θ |y)= f(θ) ?f(y |θ)= exp(-(θ- μ0)2/2τ02)?exp[(-Σ (yi- θ)2)/2 σ2 ]=exp[(-(θ- μ0)2/2τ02)+ [(-Σ (yi- θ)2)/σ2 )] θ |y~N(μn, τn2) 重點為:posterior mean為先驗資訊的mean與樣本的mean的函數，而posterior variance為先驗τ02與樣本σ2 /n相加之倒數 推論1 當樣本幾近無限大或是先驗的variance無限大，我們得到的mean幾乎等於樣本的mean，而變異數亦將近於樣本的變異數 換句話說，在樣本有限的情況下，若先驗的variance很大，亦即先驗的資訊f(θ)準確性很低，我們仍會得到準確的參數估計(即使看起來跟MLE得到的一致) 推論2 posterior mean = [(1/ τ02) ?μ0+(1/ v) ?y] / [(1/ τ02)+(1/ v) ] 其中v=sample variance/n, y為sample mean 除非τ02很小，不然posterior mean跟sample mean可能只差百分之1或更小 posterior variance=[(1/ τ02)+(1/ v)] Conjugacy(分布家族) MCMC Markov-chain Monte Carlo 利用Markov-chain可以先解決較簡單的條件機率問題，構成更複雜的機率問題。 Monte Carlo 則讓我們從特定分佈中不斷抽樣、儲存、進行參數估計 Gibbs sampler 高階的聯合機率可以化為低階的條件機率 p(x,y,z)=p(x|y,z)p(y|z)p(z) Gibbs sampler 假設有兩個參數θ1， θ2 先從θt-12, data抽樣出θt1 。g(θ1 | θt-12, data) 再從θt1, data抽樣出θt2 。g(θ2 | θt1, data) 當t趨近無限大時，每一對θt1， θt2可視為來自於π(θt1, θ2 | data)的樣本?WinBUGS的方法 * * draws