尖子生题 数学.docVIP

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB(1)求点B的坐标； (2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由． （1）由于OB是由OA顺时针旋转120度而成，所以OB=OA=2，BOy=120-90=30度，BOx=60度，则根据横纵坐标的定义，可求得Xb=2*cos60 =1，Yb=2*sin60 =√3 故B坐标为（1，√3） （2）因为抛物线过原点，所以可设抛物线解析式为y=ax^2+bx，把抛物线过A（-2，0），B（2，√3）的条件代入解析式，可解得a=√3/3,b=2√3/3，所以抛物线解析式为y=√3x^2/3 + 2√3x/3 （3）若使BOC的周长最小，由于BO长度已定，故只需使BC+CO的长度最短就行，由抛物线解析式可得对称轴为x=-1,又因为A（-2，0），O（0，0）点均在抛物线上，且它们关于直线x=-1对称，所以AC=OC，于是问题转化为使BC+AC的长度最短，C点在直线x=-1上移动，通过图像可以观察到，当C点切好处在AB上的时候，根据三角形任意两边之和大于第三边的原理，可判断出此时的AC+CB=AB长度最短，此时C点的坐标可通过求出直线AB的方程后与直线x=-1相交求得，AB的直线方程可根据两点式求得为y=√3x/3 +2√3/3，令x=-1，得出Yc=√3/3，故满足三角形BOC周长最小的C点坐标为（-1，√3/3） (4)PAB的面积可表示为1/2 *AB *PE(E为过P向AB引的垂线的垂足)，由于AB长度固定，可求出是2√3，所以只需求出PE的最大值即可获得PAB的最大面积 通过观察图像可得出以下结论，当过P点且相切于抛物线的直线斜率与直线AB的斜率相等时，此时的PE最大，设P的横坐标为Xp,则抛物线的切线的斜率可通过对抛物线方程求导取得（如果楼主没学过导数，请看最后一段的补充说明！），为y=2√3x/3 +2√3，所以过P点的切线斜率为2√3Xp/3 +2√3，令其等于AB的斜率√3/3，可解得Xp=-1/2, 代入到抛物线解析式可求得P点坐标为（-1/2,-√3/4）,直线PE的斜率是AB斜率的负的倒数分之一，可求得为-√3，再将P点坐标代入可得PE的方程为y=-√3x-3√3/4，它与AB的交点E可通过联立AB的解析式得出是（-17/16,5√3/16），所以PE通过联立P、E两点的坐标求得为9/8,所以PAB最大面积为1/2 * 9/8 * 2√3=9√3/8 第4问我取了点巧，用导数求更加一目了然，避免了一些繁琐的计算，但是如果楼主还没有学过导数的话，那么我大概说一下别的做法 要使PE达到最大，可设直线束的斜率为AB的斜率即为固定，当此直线束中的一条切好与抛物线相切时，从图像上能得出此时的PE也就是AB与切线这两条平行线的距离最大的结论，那么可将此切线的方程与抛物线方程联立起来，令其有且只有一个解，由于切线方程斜率已知，此时切线方程只有一个未知数纵截距，通过二次方程满足有且只有一个解这个条件可得出唯一的纵截距值，且同时求出切点即P的坐标，之后的求解过程同上所述 y=ax2+2ax﹣ 3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l： ?对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值． ? 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当BON面积最大时，在坐标平面内求使得BOP与OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．5．（2011年株洲市压轴题）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题： （1）若测得（如图1