【热工学课件】导热的有限差分解法.pptVIP

* * * 第十二讲: 一、本课的基本要求： 1. 重点掌握有限差分法的基本概念、基本原理。 2. 掌握稳定导热的差分解法即会建立差分方程，了解差分方程的求解法。 二、本课的重点、难点： 1. 本课的重点是有限差分法的基本概念、基本原理。 2. 本课的难点是差分方程的建立。 第二章 热 量 传 输 导热的有限差分解法 §2.6 导热的有限差分解法 2.6.1 有限差分法的基本概念 1. 有限差分的原理 由微分学得知，函数的导数是函数的增量与自变量之比的极限，又称为微商。 第二章 热 量 传 输 式中?t与?x为有限差分，?t/?x称为有限差商。当?x??时，差商的极限就是微商，当?x为一有限小量时，差商就可看着是微商的近似，即 上式称为向前差分，也可向后差分及中心差分，其表现形式分别为 第二章 热 量 传 输 同样，函数的二阶导数也可用二阶差商来近似表示 用差商来近似表示微商必然引起误差，误差的大小可用泰勒级数展开式来估计。对于向前差分、向后差分为?x数量级，而中心差分是?x2的数量级。 第二章 热 量 传 输 2. 差分网络 用差商近似微商的差分法的实质是把连续变化的变量离散化为不连续的阶跃变化的过程。这种离散化的过程是有规律的，按一定的步长把连续变量离散化为不连续的阶跃变化过程，称为区域的网络化。 一维不稳定导热：有空间变量x和时间变量?两个自变量，温度t是x和?的函数。 见书上199页图2-6-2。 二维稳定导热的空间网格图见书上图2-6-3。 第二章 热 量 传 输 2.6.2 稳定导热的差分解法 1. 建立差分方程 二维稳定导热的导热微分方程为： 第二章 热 量 传 输 第二章 热 量 传 输 又 ?x=?y 上式称为差分方程。 它表明：常物性稳定导热量可用温度关系式表明，流向任一节点的热量和恒等于零。 第二章 热 量 传 输 2. 差分方程的求解 (1)松弛法——又叫张弛法或余数调节法。其基本思路是通 过假定各节点温度的初始近似值，代入节点方程，比较并调 节各方程的余数值，使之等于或接近零为止（这是因为稳定 导热情况下，各节点热量之和必为零）。 具体步骤： 1)视具体条件假定各节点温度的第一近似值。第一近似值虽不影响最终结果，但假设得好可大大缩短计算时间。 第二章 热 量 传 输 2)将第一近似值代入节点方程。一般而言，任何一个节点方程均不会等于零而是等于某一不为零的余数q*。 3)调整余数最大的节点方程的有关温度，使该方程q*为零。调整量为q*/4，则该方程q*为零。 第二章 热 量 传 输 5)比较调整后节点方程的余数，再按步骤3）调整余数最大的方程的有关温度使其等于零 6)如此反复，直到所有方程余数为零或接近零为止。 4)当 调整后，凡与该节点温度有关的其他节点也要相应改变，将调整后的温度代入各节点方程将会出现新的余数。 j i t 第二章 热 量 传 输 * *