【高等数学课件】多元函数的极值及其求法.DOCVIP

章节题目 第八节 多元函数的极值及其求法 内容提要 多元函数极值的概念、必要条件及充分条件 多元函数的最值 条件极值的求法 重点分析 极值的必要条件及充分条件 极值与最值的求法 难点分析 用拉格朗日乘数法求解条件极值 拉格朗日乘数法所得方程组的求法 习题布置 2、6、8、10 备注 教 学 内 容 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖y 元，则每天可卖出70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 二、多元函数的极值和最值 1、二元函数极值的定义：设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 例1、函数Z=3x2+4y2在（0，0）处有极小值 例2、函数Z=-在（0，0）处有极大值 例3、函数Z=xy在（0，0）处无极值 2、多元函数取得极值的条件 定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ， . 证 不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意 都有, 故当，时，有, 说明一元函数在处有极大值, 必有 ; 类似地可证 . 推广 如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为 ，，. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点极值点 例如, 点是函数的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 , ，令 ， ，， 则在点处是否取得极值的条件如下： （1）时具有极值， 当时有极大值， 当时有极小值； （2）时没有极值； （3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论． 例4求由方程确定的函数的极值 解 将方程两边分别对求偏导 由函数取极值的必要条件知, 驻点为, 将上方程组再分别对求偏导数, 故 ,函数在有极值. 将代入原方程, 有, 当时，, 所以为极小值； 当时，, 所以为极大值. 求函数极值的一般步骤： 第一步 解方程组 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步 定出的符号，再判定是否是极值. 3、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值. 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 例5 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值. 解 如图, 先求函数在内的驻点， 解方程组 得区域内唯一驻点,且, 再求在边界上的最值 在边界和上, 在边界上，即 于是, 由 , 得 比较后可知为最大值, 为最小值. 例6 求的最大值和最小值. 解 由 得驻点和, 因为即边界上的值为零. 所以最大值为，最小值为. 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 三、条件极值拉格朗日乘数法 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x,y)=lnx+lny ．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果． 问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny 在条件8x+10y=200下的极值点． 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 拉格朗日乘数法：要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由 解出，其中就是可能的极值点的坐标. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找在条件 ，下的极值， 先构造函数 其中均为常数，可由 偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标. 例7 将正数12分成三个正数之和 使得为最大. 解 令 , 则 解得唯一驻点， 故最大值为 例8 在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 解 设为椭球面上一点, 令, 则， ， 过的切平面方程为 , 化简为 , 该切平面在三个轴上的截距各为，，, 所围四面体的体积 ,在条件下求V的最小值, 令 , 由 即 可得，， 当切点坐标为