第3章 多维随机变量及其分布.PPTVIP

第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 多维随机变量 3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量). 联合分布函数 定义3.1.2 联合分布函数的基本性质 多维离散型随机变量 二维离散随机变量 二维离散分布的联合分布列 联合分布列的基本性质 确定联合分布列的方法 课堂练习 联合密度函数 设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 f(x, y)，使得 联合密度函数的基本性质 多项分布 二维均匀分布 二维正态分布 例 3.1.3 例 例 3.1.4 §3.2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘密度函数 注 意 点 (1) 由联合分布可以求出边缘分布. 但由边缘分布一般无法求出联合分布(课本例2). 所以联合分布包含更多的信息. 注 意 点 (2) 二维正态分布的边缘分布是一维正态： 若 (X, Y) ? N ( )， 3. 4 随机变量间的独立性 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) p ij = pi pj iii) f(x, y) = fX(x)fY(y) 则称 X 与Y 是独立的， 注 意 点 (1) X 与Y是独立的其本质是： 例 例 注 意 点 (1) 注 意 点 (2) §3.5 多维随机变量函数的分布 多维离散随机变量函数的分布 (1) 设(X1, X2, ……, Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, ……, Xn) 是一维离散随机变量. 最大值与最小值分布 一般情况 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 fX(x). 连续型随机变量的卷积公式 离散型随机变量的卷积公式 卷积公式的应用 分布的可加性 二项分布的可加性 泊松分布的可加性 正态分布的可加性 独立正态变量的线性组合仍为正态变量 伽玛分布的可加性 ?2 分布的可加性 注 意 点 §3.3 条件分布 对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布. 条件分布 (1) 条件分布列： (3) 条件分布函数： 则 X ? N ( )， Y ? N ( ). 二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布. 例 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 1} 上的均匀分布，求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得 x y -1 1 当|x|1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0 当|x|≤1时, 不是均匀分布 例 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}= y=x x+y=1 1/2 例 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 求 任对实数a, b, c, d，有 (2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的. (X, Y) 的联合分布列为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 问 X与Y 是否独立？ 解: 边际分布列分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 因为 所以不独立 已知 (X, Y) 的联合密度为 问 X 与Y 是否独立？ 所以X 与Y 独立。 注意：f(x, y) 可分离变量. 解: 边际分布密度分别为: (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. (2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子 (3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立. (4) 若联合密度 f(x, y) 可分离变量，即 f(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。(习题3.2 16题) (5) 若 (X, Y)