初等模型02.pptVIP

Ay=0 有m-r=3个基本解 rank A = 3 rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r m-r 个无量纲量 F(?1, ?2 ,?3 ) = 0与 ?(g,l,?,v,s,f) = 0 等价 为得到阻力 f 的显式表达式 F=0 ? 未定 F(? 1, ?2,…, ?m-r ) = 0 与 f (q1, q2, ?, qm) =0 等价 量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 有目的地构造 Ay=0 的基本解 方法的普适性 函数F和无量纲量未定 不需要特定的专业知识 2.12.2 量纲分析在物理模拟中的应用 例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 ~模型船的参数(均已知) 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 ~原型船的参数 (f1未知，其他已知) 注意：二者的?相同 按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟 2.12.3 无量纲化 例：火箭发射 m1 m2 x r v 0 g 星球表面竖直发射。初速v, 星球半径r, 表面重力加速度g 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律 ——3个独立参数 用无量纲化方法减少独立参数个数 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度） —无量纲变量 如 利用新变量 将被简化 令 xc, tc的不同构造 1）令 的不同简化结果 ?为无量纲量 3）令 ?为无量纲量 2）令 ?为无量纲量 1）2）3）的共同点 只含1个参数——无量纲量? 解 重要差别 考察无量纲量 在1）2）3）中能否忽略以?为因子的项？ 1) 忽略?项 无解 不能忽略?项 2) 3) 忽略?项 不能忽略?项 忽略?项 火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r ? r 原问题 可以忽略?项 是原问题的近似解 为什么3)能忽略?项，得到原问题近似解，而1) 2)不能? 1）令 2）令 3）令 火箭到达最高点时间为v/g, 高度为v2/2g, 大体上具有单位尺度 项可以忽略 项不能忽略 林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学 2.14 报童问题 问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设abc。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自 己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销 受范围内每天报纸的需求量为 份的概率是 有了 和 就可以建立关于购进量的优化模型。 模型建立： 假设每天购进量是 份，需求量 是随机的， 可以小于，等于 或大于 ，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化 模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年） 的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每 天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进 份报纸的平均收入为 ，如果这天的需 求量 ，则售出 份，退回 份；如果需求量 则 份将全部售出。需求量为 的概率是 ，则 问题归结为在 已知时，求 使 最大。 模型求解： 和购进量 都相当大，将 视为连续变量便于 分析和计算，这时概率 转化为概率密度函数 计算 则 令 使报童日平均收入达到最大的购进量 ，得到 应满足上式。 因为 ，所以 根据需求量的概率密度 的图形可以确定购进量 在图中用 分别表示曲线 下的两块面积，则 O n r 因为当购进 超过 份报纸时， 是需求量 不超过 的概率，即卖不完的概率； 是需求量 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份数 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 与退回一份赔的钱 之比。 结论： 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时， 报童购进的份数就应该越多。 练习： 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为 1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差5