信号与系统吴大正第四版第三章课件.pptVIP

第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。 设有序列 ，则称 为 的移位序列。 序列的差分可分为前向差分和后向差分。 一阶前向差分定义： 一阶后向差分定义： 前向差分和后向差分的关系： 本书主要采用的是后向差分，简称差分。 差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为： 类似可定义三阶、四阶、…n阶差分。N阶差分 式中 序列 的求和运算为 差分方程是包含关于变量k的未知序列 及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为： 式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。 各阶差分均可写为 及其各移位序列的线性组合，故上式常写为： 若各移位序列的系数为常数，则方程为常系数差分方程。 例：若描述某离散系统的差分方程为： 已知初始条件 ，激励 ，求 解：将差分方程中除 以外的各项都能移到等号右 端，得 对于 ，将已知初始值 代入上式，得 类似地，依次迭代得 二、差分方程的经典解 一般而言，如果单输入—单输出的LTI系统的激励 ，其全响应为 ，那么，描述该系统激励 与响应 之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，它可以写为： 式中 都是常数上式可缩写为 差分方程的解由齐次解和特解两部分组成： 齐次解： 当差分方程中的激励及其各移位项均为零时，齐次方程的解为齐次解。 首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为 它可改写为： 之比等于-a表明，序列 是一个公比为-a的等比级数，因此 有如下形式： 对于n阶齐次方程，它的齐次解由形式为 的序列组合而成，将 代入到差分方程中，得： 由于 ，消去C，且 ，以 除上式，得 为差分方程的特征根。 全解 线性差分方程的全解是齐次解与特解之和，如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为 如果特征根λ1为r重根，而其余n-r个特征根为单根时，差分方程的全解为： 式中 由初始条件决定。 如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k≥0。对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件 就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，可得： 由以上方程可求得全部待定系数 例：若描述某系统的差分方程为 已知初始条件 激励 求方程全解 解：求齐次解 差分方程的特征方程为 可解得特征根 为二重根，其齐次解 求特解，根据激励函数的形式可知其特解： 将 代入微分方程中得 微分方程的全解为 将初始条件代入上式，有 由上式得 。最后得方程的全解为 例：若描述某离散系统的差分方程为 已知初始条件 ；激励为有始的周期序列 ，求其全解。 解：首先求齐次解。差分方程的特征方程为 解得特征根 方程的齐次解 求特解 根据激励函数形式设特解为 其移位序列 将特解及其移位序列代入微分方程中，得 解得 ，于是特解 方程的全解 将已知的初始条件代入上式，有 由上式解得 ，最后得全解 一般而言，如果差分方程所有的特征根均满足 ，那么其自由响应将随着k的增大而逐渐衰减趋近于0。这样的系统称为稳定系统，这时的自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也称为稳态响应。 三、零输入响应 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用 表示。在零输入条件下，微分方程等