432-5.4 微分方程应用举例.pptVIP

5.4 微分方程应用举例 * * 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解． 本节将通过一些实例说明微分方程的应用． 例1 设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰好被切点所平分，已知该曲线通过点( 2 , 3 ) ，求该曲线的方程． 解 由题意，它是切线在第一象限内的线段的中点， 设 M ( x , y )是曲线上任意一点， 则切线与 y 轴的交点坐标是( 0 , 2 y ) ， 与 x 轴的交点是 ( 2x , 0 ) ， 则得微分方程 因此，所求曲线的方程为 所以切线的斜率为 　． 若设曲线方程为　　　　 ， 分离变量，解得 　　　　　， 代入条件 例2 　　　已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律． 解 可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的． 由题意，得 其中 k 是比例系数( k 0 ) ． 由于是单调减少的，即 设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为 ， 则水的冷却速率为 , (1) 所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为 ． 对(1)式分离变量，得 于是方程(1)的特解为 两边积分 得 即 把初始条件 代入上式，求得 C = 80 ， 其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定， 即 解得 因此瓶内水温 与时间 的函数关系为 例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解 设降落伞下落速度为 v = v( t ) , 降落伞在空中下落时， 同时受到重力 P 与阻力 R 的作用(图5.1)， 重力大小为 mg ，方向与 v 一致； 阻力大小为 kv ( k 为比例系数)，方向与相反， 图5.1 根据牛顿第二运动定律 F = ma (其中 a 为加速度)， 得函数v = v(t)的微分方程为 从而降落伞所受外力为 (2) 由题意，初始条件为 . 因为方程(2)是可分离变量的． 这就是方程(2)的通解． 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动． 分离变量后得 两边积分 得 即 或 (3) 将初始条件 代入(3)式， 得 (4) 由(4)式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数 , 且不会超过 , 图5. 2 例4 解 由电学知识知道 设电路中的电流为 i(t)， 电容器所带的电量为Q (t)，自感电动势为 ． 设有一个由电阻 R ，电感(自感) L ，电容 C 和电源 E 串联组成的电路(简称 R – L - C 串联电路)，其中 R,L,C为常数，电源电动势是 ，这里 及 也是常数(图5. 2)．求出R – L – C 串联电路中电容C上的电压 所满足的微分方程． 因而在 R-L-C 电路中各元件的电压降分别为 将(5)式代入上式，得 如果电容C 经充电后，撤去外接电源(即E = 0 )， (5) 根据回路电压定律，得 即 (6) 这就是串