186-第四章 导数的应用.pptVIP

第四章 导数的应用 一、一阶导数的应用 4.1 中值定理 [定理4.1] (罗尔中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且在两端点的函数值相等， 即f(a)＝f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a,b)， 使得f(ξ)＝0 罗尔定理的几何意义 　　　　x=ξ 　　　　　　　　　　　　 　　a b 定理内容 几何意义 f(x)在闭区间[a,b]上 f(x)在[a,b]上是一条 连续 连续曲线 在开区间(a,b)内可导 曲线(除端点外)每点都 可作切线 在两端点的函数值相等 曲线两端点的纵坐标相等 f(ξ)＝0 该点的切线平行于X轴 罗尔定理的三个条件 ⑴ f(x)在[a,b]上连续 ⑵ f(x)在(a,b)内可导 ⑶ f(a)＝f(b) 只要不满足其中的任何一个条件，可能就不存在 这样的ξ 例如：在区间[－1,＋1]上 函数y＝ 不满足条件⑴，在x＝0处间断 函数y＝|x|不满足条件⑵，在x＝0处不可导 函数y＝ x 不满足条件⑶，两端点的函数值不相等 所以，它们在指定的区间内都不存在这样的点ξ 例4.1 验证函数y＝x2－4x在区间[1,3]上是否满足罗尔定理的条件?如果满足，求ξ 解：函数y＝x2－4x是初等函数， 所以在区间[1,3]上连续，在区间(1,3)内可导， f(1)＝－3，f(3)＝－3，f(1)＝f(3)， 满足罗尔定理的条件。 f(x)＝2x－4，令2x－4＝0，解得x＝2 x∈(1,3)，∴x＝2这一点就是所求的ξ [定理4.2] (拉格朗日中值定理) 　 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使 f(ξ)＝ 证明： 作辅助函数φ(x)＝f(x)－ x， 则φ(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 且f(a)＝f(b)＝ ， 根据罗尔中值定理，必存在一点ξ， 使φ(ξ)＝f(ξ)－ ＝0，即f(ξ)＝ 拉格朗日中值定理通常又写成 f(b)－f(a)＝f(ξ)(b－a)。 拉格朗日中值定理的几何意义 B 表示弦AB的斜率， A 拉格朗日中值定理的意义是: 　 x=ξ 闭区间上的连续曲线y＝f(x)， 如果除两端点外每一点都可以作一条切线，那么至少 存在一点(ξ,f(ξ))，过这点的切线平行于弦AB 不难看出，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f(a)＝f(b)时的特殊情况。 例4.2 求函数y＝x3在(-1,2)内满足拉格朗日中值定理 f(b)－f(a)＝f’(ξ)(b－a) 的ξ的值。 解：∵f(x)＝3x2，f(2)＝8，f(－1)＝－1 ∴f(2)－f(－1)＝3ξ2[2－(－1)] 即9＝9ξ2，ξ＝±1，舍去ξ＝－1，则ξ＝1 例4.3 当0≤a＜b，证明：eb－ea＞b－a 证明： 令f(x)＝ex， 则f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件， 故存在ξ∈(a,b)使eb－ea＝eξ(b－a) ∵a≥0，ξ∈(a,b)∴ξ＞0，eξ＞1 则 eb－ea＞b－a [推论1] 若函数f(x)在(a,b)内有f(x)＝0，则f(x)在(a,b) 内为一常数。 证明： x1,x2∈(a,b)，在[x1,x2]上应用拉格朗日中值定理有f(x2)－f(x1)＝f(ξ)(x2－x1)，ξ∈(a,b) ∵f(ξ)＝0，∴ f(x2)－f(x1)＝0，f(x2)＝f(x1) [推论2] 若两个函数f(x)和g(x)在(a,b)内有f(x)＝g(x)， 则在(a,b)内f(x)－g(x)为一常数C。 证明：设φ(x)＝f(x)－g(x) ∵φ(x)＝[f(x)－g(x)]＝f(x)－g(x)＝0 根据推论1，∴φ(x)＝f(x)－g(x)＝C [习题选讲] P.188 4. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,