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Mathematica在复变函数教学中的应用 倪 致 祥# ( 阜阳师范学院物理系, 阜阳 236032 ) 摘 要：本文给出了Mathematica在复变函数教学中的典型应用案例，可以学生的探究能力。关键词：Mathematica 中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号： 0、引言 当前教学改革，一个重要的是充分利用现代化的手段来开展自主学习、研究性学习和实践，提高学生的学习和研究兴趣，培养学生动手能力和创新精神用数学软件Mathematica的功能十分强大，使用非常简便，进行科学研究和教学改革 Mathematica中与复变函数的，有许多与实变函数完全相同，例如微分、不定积分、幂级数展开等，介绍。Mathematica在复变函数中还有许多特殊的，许多读者还不熟悉。Mathematica进行探究性学习的一个典型案例。最后是一个简明的小结。 1、基本 1.1、微分 在Mathematica中对复变函数求一阶导数的命令是 D[f[z],z]或者f’[z] 求二阶导数的命令是 D[f[z],{z，2}]或者f ”[z] 多元函数对自变量求一阶偏导数的命令是 D[f[z,w],z]D[f[z,w], w] 求二阶偏导数和的命令分别是 D[f[z,w],{z,2}]，D[f[z,w],{z,w}]D[f[z,w],{w,2}] 更高阶导数的命令可以类推。 1．2、积分 在Mathematica中对函数求不定积分的命令是 Integrate[f[z], z] 注意在复变函数中，只有解析函数的不定积分才有意义。 对函数从z1到z2求定积分的命令是 Integrate[f[z],{z, z1, z2] 在复变函数，定积分的路径默认为从起点z1到终点z2的线段。 1．3、幂级数 在Mathematica中把解析函数在 z0点展开为幂级数的命令是 Series[f[z],{z, z0, n}] 其中参数n表示展开式只显示到n次幂。 而一个已知的幂级数可以用命令 Sum[a[n]( z ( z0)n],{n, 0, (}] 来求和。其收敛半径可以用比值法来确定， 相应的Mathematica命令为 Limit[Abs[a[n] / a[n+1]], n((}] 2、特殊 2．1、复变函数的分解 Mathematica提供了把复变函数分解为的命令 ComplexExpand[f[x + y ]] 例如复变分解为输入ComplexExpand[Sin[x + y ]]，输出Cosh[y] Sin[x] + I Cos[x] Sinh[y] 如果要分别得到实部和虚部可以 ComplexExpand[Re[f[x+y I ]]]和ComplexExpand[Im[f[x+y I ]]] 2．2、路径积分 在Mathematica中求定积分的命令Integrate可以计算以折线为路径的积分如果积分路径由{z0, z1, z2, …, zn}中的各点依次连接成的折线组成，则被积函数沿该路径的积分为 Integrate[f[z], { z, z0, z1, z2, …, zn}] 例如折线Mathematica命令为 Integrate [ z^2 , { z, 0, 2, 2 + I } ] 结果为。 2．3、罗朗展开 在Mathematica中泰勒展开的命令Series还可以对复变函数进行罗朗展开。如果z0是函数f[z]的极点，则命令Series[f[z],{z, z0, n}]可以把该函数在极点展开为罗朗级数。 例如极点显示到次幂Mathematica命令为： Series[Sin[z]/ z /(z-1),{z, 1, 4}] 结果为 最后一项表示还有未显示的更高次幂。 2．4、留数计算 MathematicaResidue[f[z],{z, z0 }] 计算复变函数f(z)z0点的留数值。 例如，我们要求函数在z = 1点的留数，对应的Mathematica命令为： Residue [Sin[z]/ z /(z-1),{z, 1 }] 结果为 Sin[1] 3、用Mathematica进行探究 利用Mathematica的运算功能，可以探究性教学。例如，探究复变函数路径积分的规律。Mathematica的Integrate命令 路径 函数 {0, 2 + 3 I } {0, 2, 2 + 3 I } {0, 3 I, 2 + 3I } {0,1, 2 + 3 I } z z2 z3 ez Re z 2+3 ? 2+6 ? 2 z* 3）猜想 仔细观察上面的结果，发现对于前4行的积分值都相同，与所经过的路径无关