数学：2013届江苏省无锡一中高二上学期期中考试2011.11.docVIP

江苏无锡一中 2011—2012学年度上学期期中考试 高二数学试题 命题：沈柏英 审核：杜惠锋 一．填空题 1．抛物线的焦点为 . 2.已知直线的充要条件是= . 3．已知圆：和点，则过且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 . 4．双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，则该双曲线的离心率等于 . 5．已知圆，直线，则与圆相切，且与直线垂直的直线方程为 . 6．椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于、两点，则的周长为 . 7．已知圆和过原点的直线的交点为、，则的值为 . 8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为 . 9．若⊙与⊙相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 . 10. 将一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设两条直线，平行的概率为，相交的概率为，则所对应的点在直线的________方（填“上”或“下”）． 11．在平面直角坐标系中，设直线和圆相切，其中，，，若函数 的零点，则 . 12．点、是双曲线右支上的两点，中点到轴的距离为，则的最大值为 . 13．如图，已知是椭圆 的 左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆 相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离 心率为 . 14．以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号） 二．解答题 15. 已知圆与两坐标轴都相切，圆心到直线的距离等于. （1）求圆的方程； （2）若圆心在第一象限，点是圆上的一个动点，求的取值范围． 16. 椭圆的左、右焦点分别为、，直线过与椭圆相交于、两点，为坐标原点，以为直径的圆恰好过，求直线的方程. 17．已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点、，若线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 18.已知舰在舰的正东，距离6公里，舰在舰的北偏西30(，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰发现动物信号，4秒后，舰，同时发现这种信号，于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰炮击的方位角． 19．已知椭圆的离心率为，过右顶点的直线与椭圆相交于、两点，且. （1）求椭圆和直线的方程； （2）记曲线在直线下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为．若曲线与有公共点，试求实数的最小值． 20．已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为； （1）求椭圆的离心率； （2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1． 2．－1 3． 4． 5． 6．12 7．答：5 8．答：4； 9．4 10．下 11． ． 12．答：8 13． 14．（3）（4） 15．（1）圆C方程为. (2) 16.解：（1） ∴所求直线方程为. 17．解：设直线AB的方程为，点， 把代入抛物线方程可得： ∴， ∴， 设线段AB的中点C的坐标为 则直线CQ的方程为： 令，则 又由且得：或 则 ∴的取值范围为。 18．解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2)且动物P(x，y)在BC的中垂线l上， ∵BC中点M的坐标为(－4， )， kBC＝－。 ∴ l的方程为y－＝(x＋4)即：y＝(x＋7)。。。。。。。。。。。。。。。。。① 又∵ |PB|－|PA|＝4(公里) ∴ P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。 双曲线方程为＝1 (x≥2)。。。。。。。。。。。。。。。② 由①②消去y得 11x2－56x－256＝0，解的x1＝－ (舍去)，x2＝8。 ∴ P点坐标为(8，5)， 于是tg∠xAP＝kAP＝＝， ∴ ∠xAP＝60(， 故舰A炮击的方位角为北偏东30(。 19．【解】（1）由离心率，得，即. ① ………………2分 又点在椭圆上，即. ② ………………4分 解 ①②得， 故所求椭圆方程为. …