2007清华大学保送生暨自主招生北京冬令营试题与解答.pdfVIP

清华大学保送生暨自主招生北京冬令营 试题与解答 数学笔试试题 （2006 年12 月30 日） x e 1.求f (x ) 的单调区间及极值. x 解答： 1 1 f x e x ( ) ( =− 2 ) x x 1 1 (1) −∞ 时ex − 单调递减 ( ,0) ( 2 ) 0, x x 1 1 x (0, ∞)时e ( − 2 ) 0 =⇔x 1, x x 1 1 x 时e − 单调递减 (0,1) ( 2 ) 0 (2) x x 1 1 x ∞ 时e − 单调递增 (1, ) ( 2 ) 0 x x x e 当 时有极值 1 , T a ，T 是T 的中点三角形，A 为T 除去T 后剩下三个三角 2.设正三角形 边长为 1 n+1 n n n n+1 n 形内切圆面积之和.求lim ∑Ak . n→∞ k 1 解答： 3a 2 a2 在T中三个内切圆的半径为1 ⇒A1 3πr 6 4 2 n 2 a a 同理An n ，因此lim ∑Ak 4 n→∞ k 1 3 3. 已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声 道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工 作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果. D 0.94 A 0.90 C 0.95 B 0.95 E 0.94 求：（1）能听到立体声效果的概率； （2 ）听不到声音的概率. 解答：(1)A 与B 中有一工作的概率为1-(1-0.90)*(1-0.95)=0.995 D 和E 同时工作的概率为0.94*0.94=0.8836 能听到立体声效果的概率为0.8836*0.995*0.95=0.8352229 (2) D 与E 中有一工作的概率为1-(1-0.94)*(1-0.94)=0.9964 能听到声音效果的概率为0.9964*0.995*0.95=0.9418471 听不到声音的概率1- 0.94