2011年东城区高三二模数学(文)试题及答案.docVIP

北京市东城区2010-2011学年度综合练习（二） 高三数学 （文科）2011.5 一、本大题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的18、（本小题共13分） 已知函数()若，求证：在上是增函数； 求在上的最小值，离心率，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行于的直线交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形． 20、(本小题共14分) 已知为两个正数，且，设当，时，． （Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由． 北京市东城区2010-2011学年度第二学期综合练习（二） 高三数学参考答案 （文科） 2011.5 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、C 6、B 7、C 8、A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9、 10、 11、 12、 13、 14、 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（共13分） 解：（Ⅰ）因为，且， 所以，． 因为 所以． ……………………6分 （Ⅱ）因为 ，． 因为，所以，当时，取最大值； 当时，取最小值． 所以函数的值域为． …………………13分 16、（共13分） （Ⅰ）证明：由，时，，解得. 因为，则， 所以当时，， 整理得. 又， 所以是首项为1，公比为的等比数列. ……………………6分 Ⅱ、解：因为， 由，得. 可得 ＝，（）， 当时也满足， 所以数列的通项公式为. ……………………13分 17、（共13分） 证明：（Ⅰ）连结，与交于点，连结． 因为，分别为和的中点， 所以∥． 又平面， 平面， 所以∥平面． ……………………6分 （Ⅱ）在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以． 因为，为中点， 所以．又， 所以平面． 又平面， 所以． 因为四边形为正方形，，分别为，的中点， 所以△≌△，． 所以． 所以． 又， 所以平面． ……………………13分 18、（共13分） （Ⅰ）证明：当时，， 当时，， 所以在上是增函数． ……………………5分 （Ⅱ）解：， 当时，， 在上单调递增，最小值为． 当，当时，单调递减； 当时，单调递增． 若，即时，在上单调递增， 又，所以在上的最小值为． 若，即时，在上单调递减； 在上单调递增． 又， 所以在上的最小值为． 综上，当时，在上的最小值为； 当时，在上的最大值为．………13分 19、（共14分） 解：（Ⅰ）设椭圆方程为， 则解得． 所以椭圆方程为． ……………………5分 （Ⅱ）由题意，设直线的方程为． 由 得， 设直线，的斜率分别为， 设，则，． 由， 可得，， ． 即． 故直线，与轴始终围成一个等腰三角形．………………14分 20、(共13分) (Ⅰ)证明：易知对任意，，． 由可知即． 同理，，即． 可知对任意，． ， 所以数列是递减数列． ， 所以数列是递增数列． ……………………5分 (Ⅱ)证明：． ……………………10分 （Ⅲ）解：由，可得． 若存在常数使得对任意，有， 则对任意，． 即对任意成立． 即对任意成立． 设表示不超过的最大整数，则有． 即当时，． 与对任意成立矛盾． 所以，不存在常数使得对任意，有． ……14分 追求卓越成绩，创造美好未来！ 1