高中数学：高三数学小题练试题和答案.docx

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数学小题练试题11.27

命题：赵杰英审题：卢腊军

一、单选题

1．设m，n为实数，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.

【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确，故选：A.

2．已知，都为锐角，，，则等于（????）

A． B． C． D．

【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．

【详解】解：，都是锐角，，，

，，

故选：A．

3．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．函数是偶函数 B．函数是增函数

C．函数是周期函数 D．函数的值域为

【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.

【详解】对于A，当时，，，故A错误；

对于B，由余弦函数的性质，易知函数在上不单调，故B错误；

对于C，由二次函数的性质，易知函数在上为增函数，故C错误；

对于D，由，且当时，，则，故D正确.故选：D.

4．已知向量，满足，，，则（????）

A．2 B． C．1 D．

【分析】根据题意得，再解方程即可.

【详解】解：因为，所以，因为，，

所以，即，解得或（舍）

所以，故选：D

5．《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为尺，最后三个节气日影长之和为尺，今年月日时分为春分时节，其日影长为（????）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【详解】小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：

，解得：所以，

所以，即春分时节的日影长为4.5.

6．如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，点P为线段CD上的动点，则三棱椎的外接球体积的最小值为（????）

B．

C． D．

【分析】确定球心在平面的投影为中点，根据勾股定理得到，确定半径的最小值，再确定的位置使其满足条件，计算体积得到答案.

【详解】为直角三角形，故球心在平面的投影为中点.

设球半径为，，则，

当，即球心与重合时，最小为，

矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，则在平面的投影为中点，

需满足是外心，当为中点时，为直角三角形，满足条件.

.

故选：C

7．已知抛物线的焦点为，点，经过点的直线交抛物线于，两点，且，则点的横坐标为（????）

A． B．1 C． D．

【分析】根据题意得到点的坐标，从而得到直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理即可得到结果.

【详解】

根据题意不妨令点在轴上方，得到如图所示图像，

因为抛物线，则焦点，又因为点且，

则，且在抛物线上，则，所以

由直线过点且交抛物线于，两点可知，，

则直线方程为，

联立抛物线与直线方程可知消去得

由韦达定理可知，且，所以故选:C.

8．函数的零点个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】先求导研究函数的单调性，再结合零点的存在性定理即可求解

【详解】，

所以在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以函数至多一个零点

又，，

即函数在上有一个零点，

所以函数的零点个数是1，

故选：B.

二、多选题

9．若，，则（????）

A． B．

C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是实数

【详解】因为，所以A正确；

因为，，所以B正确；

因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；

因为，所以是实数，所以D正确．故选：ABD.

10．已知正实数、满足，则（????）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最大值为

【详解】因为正实数、满足，

则，

因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；

因为，

所以，，

令，因为函数在上单调递减，

所以，，C对D错.

故选：AC.

11．已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（????）

A．外接圆半径为 B．内切圆半径为

C． D．

【详解】在中，，所以，

设外接圆半径为，则，则，故A错误；

设内切圆半径为，则，解得，故B正确；

因为，，

所以

，故C正确；