浅谈逆矩阵的求法.doc

某某某某学院本科学生毕业论文

浅谈矩阵逆的求法

作者某某某

系〔院〕数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级2008级

学号000000000

指导教师某某某

论文成绩

日期2012年5月18日

学生诚信承诺书

本人郑重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.

签名:日期:

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保存、使用学位论文的规定,即:学校有权保存送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或局部内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.

签名:导师签名:日期:

浅谈矩阵逆的求法

某某某

(某某某某学院数学与统计学院,河南安阳455000)

摘要:为了更便捷地解决求矩阵的逆,本文简单介绍了几种求逆矩阵的方法.包括定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法、高斯约当法、恒等变形法、利用Hamiton-Cayley定理法、拼接新矩阵、和化积等多种方法.

关键词:求逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵

1引言

矩阵理论有重要意义,它是线性代数的一个重要内容,也是处理实际问题的重要工具,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.比方逆矩阵可以用来解线性方程组.逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值和它的伴随矩阵.当其阶数较高时,它的计算量是很大的,因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.为了更便捷地求矩阵的逆,本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备根底知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的根底.

2与逆矩阵相关的定义及定理

2.1定义

设是数域上的一个阶方阵,如果存在上的阶方阵,使得,那么称是可逆的,又称为的逆矩阵.当矩阵可逆时,逆矩阵由惟一确定,记为.可逆矩阵也称非奇异矩阵、满秩矩阵.

2.2矩阵可逆的条件(判断矩阵可逆的方法)

〔1〕阶方阵可逆的充分必要条件是≠0〔即=〕;

〔2〕阶方阵可逆的充分必要条件是可以通过初等变换〔特别是只通过初等行〔列〕变换〕化为阶单位矩阵;

〔3〕阶方阵可逆的充分必要条件是可以写成一些初等矩阵的乘积;

〔4〕阶方阵可逆的充分必要条件是的个特征值不为零;

〔5〕对于阶方阵,假设存在阶方阵使得〔或〕,那么可逆,且=;

〔6〕的行向量〔或列向量〕是线性无关组;

〔7〕存在一个矩阵,与的乘积是单位矩阵;

〔8〕以其为系数矩阵的线性方程组有唯一解;

〔9〕满秩;

〔10〕的伴随矩阵可逆;

〔11〕的转置可逆;

2.3逆矩阵的性质

〔1〕可逆矩阵一定是方阵;

〔2〕如果矩阵是可逆的,的逆矩阵是唯一的;

〔3〕两个可逆矩阵的乘积依然可逆;

〔4〕可逆矩阵的转置矩阵也可逆.

设,是阶可逆矩阵,那么

〔1〕;

〔2〕假设,那么可逆,且=;

〔3〕可逆,且=;

〔4〕可逆,且=;

〔5〕可逆,且=;

〔6〕=;

〔7〕如果是矩阵,是阶可逆矩阵,是阶可逆矩阵,那么

.

3求矩阵逆的方法

3.1定义法[3]

设是数域上的一个阶方阵,如果存在上的阶方阵,使得,那么称是可逆的,又称为的逆矩阵.当矩阵可逆时,逆矩阵由惟一确定,记为.

例1:设为阶矩阵,且满足,求.

解

3.2伴随矩阵法[1][9]

=EQ.n阶矩阵=为可逆的充分必要条件是非退化.

且

其中是中元素的代数余子式.

矩阵

称为矩阵的伴随矩阵,记作,于是有

注

①对于阶数较低〔一般不超过3阶〕或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.如果阶数较大,那么使用此方法计算量太大.注意=元素的位置及符号.特别对于2阶方阵,其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律.

②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.

例2:,求.

解

因为=2≠0

所以可逆.由得

=EQ=.

3.3初等变换法[1][8]

对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换:

交换矩阵的两行(列);

以一个非零的数乘矩阵的某一行(列);

把矩阵的某一行〔列〕的倍加到另一行(列).

注

①对于阶数较高〔≥3〕的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.

②也可以利用求得的逆矩阵.

③当矩阵可逆时,可利用

求得和.这一方法的优点是不需求出