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湖北省部分学校2024届高三下学期模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（????）

A． B．

C． D．或

2．已知复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（????）

A． B． C． D．

4．如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（????）

A． B．

C． D．平面

5．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

6．已知，则（????）

A． B．－1 C． D．

7．已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（????）

A． B．

C． D．

8．定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（????）

A．的最大值是 B．的最大值是

C．的最小值是 D．的最小值是

二、多选题

9．下列命题正确的是（????）

A．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6

B．已知随机变量，若，则

C．对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立

D．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120

10．已知函数的部分图像如图所示，则（????）

??

A．在上单调递增

B．在上有4个零点

C．

D．将的图象向右平移个单位，可得的图象

11．设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（????）

A．函数的图象关于直线对称 B．

C． D．

三、填空题

12．现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有种不同的进站方式（用数字作答）

13．已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角为钝二面角，且折后所得四面体外接球的表面积为，则二面角的余弦值为.

14．已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线上，则的离心率为.

四、解答题

15．已知函数（其中是自然对数的底数）.

(1)是否存在实数a，使得函数在定义域内单调递增？

(2)若函数存在极大值，极小值，求证：

16．三棱柱中，侧面是矩形，，.

??

(1)求证：面面ABC；

(2)若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.

17．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.

(1)求抛物线的标准方程和准线方程；

(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.

18．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.

(1)求，和，；

(2)证明：为等比数列（且）；

(3)求的期望（用表示，且）.

19．在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为.

(1)填空：(直接写出结论)

①若，则；

②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是；

③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为；

(2)设点A(1，0)，点B是直线上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标；

(3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)，同时满足下列两个条件：

①；

②

若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.

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参考答案：

1．B

【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解.

【详解】由不等式，解得或，所以或，

又由，可得且，

又因为.

故选：B.

2．A

【分析】根