专题四 空间向量与立体几何-2022年高考数学二轮复核心速学解答题专题突破（艺体生适用）.docxVIP

核心速学专题四空间向量与立体几何

【核心考点整合】

【思维导引】

1.空间中的平行

(1)证明线面平行的常用方法：

①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．

②利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面．

(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行．

(3)判定面面平行的方法：

①定义法：即证两个平面没有公共点．

②面面平行的判定定理．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

④平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行．

(4)面面平行的性质：

①若两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面．

②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．

（5）平行间的转化关系

2.空间的垂直

(1)解答空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．

（2）线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化

在关于垂直问题的结论中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是开始转向另一种垂直，最终达到目的，线线垂直是关键.整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．

3.立体几何体中空间角的求法

（1）传统几何法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

（2）基向量法：利用向量的线性运算结合空间向量基本定理将向量用基向量表示，应用数量积的性质及夹角公式求空间角.

（3）法向量法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.

【真题领航】

1.（2021·全国新高考Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：.

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

【解析】解法一：（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.

（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，，两两垂直，

以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，1，，设，0，，则，

因为平面，故平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，又，

所以由，得，

令，则，，故，

因为二面角的大小为，所以，

解得，所以，

又，所以，故．

解法二：（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD.

因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，

因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD.

(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM.

因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，

所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC.

因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF，

则为二面角E-BC-D的平面角,.

因为,为正三角形,所以为直角三角形.

因为,，

从而EF=FM=，平面BCD,所以.

2.（2020·全国新高考Ⅰ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC.

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

【解析】（1）证明：在正方形中，，

因为平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面平面，所以，

因为在四棱锥中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因为，所以平面.

（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，

设，则有，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

.

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于

，当且仅当时取等号，

所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

【核心考能聚焦】

核心考点一空间平行与垂直的证明

【例1】如图，在中，平面平面，，.设分别为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）试问在线段上是否存在点，使得过三点的平面内的任一条直线都与平面平行?若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.

【解析】证明：因为点是中点，点为的中点，

所以，

又因为，所以.………………3分

证明：因为平面平面，平面，

又，，所以