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杭州市西湖高级中学2024年4月高一测试卷
数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1已知集合,则()
A. B. C. D.
2.若为虚数单位,复数,则()
A B. C. D.
3.已知,,则()
A. B. C. D.
4.如图,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形,若==2,那么原三角形的周长是()
A. B.
C D.
5.已知圆锥的母线长为2,其侧面展开图为圆心角为的扇形,则该圆锥的底面半径为()
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足,且,则的夹角为()
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,若,则不等式的解集为()
A. B.
C. D.
8.已知外接圆圆心为O,且则向量在向量上的投影向量为()
A. B. C. D.
二、多选题:本小题共3题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分
9.设复数在复平面内对应的点为,原点为,为虚数单位,则下列说法正确的是()
A.若,则或
B.若点的坐标为,则对应的点在第三象限
C.若,则的模为
D.若,则点的集合所构成的图形的面积为
10.已知函数,其部分图象如图所示,则下列关于的结论正确的是(????)??
A.
B.在区间上单调递减
C.的图象关于直线对称
D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
11.如图,在直三棱柱中,,,,侧面的对角线交点,点是侧棱上的一个动点,下列结论正确的是(????)
A.直三棱柱的侧面积是
B.直三棱柱的外接球表面积是
C.三棱锥的体积与点的位置无关
D.的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分
12.已知函数,则______.
13.已知为的边上一点,,,,则______.
14.已知是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使的,则的值为______.
四、解答题:本小题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15.已知是虚数单位,当实数满足什么条件时,复数分别满足下列条件?
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)纯虚数;
16.如图,在菱形中,.
(1)若,求的值;
(2)若,求.
17.已知正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点;
(1)求该三棱柱的体积与表面积;
(2)求三棱锥的内切球半径.
18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若;
(1)求B;
(2)若,试判断的形状.
(3)若,求的面积的最大值.
19.对于函数,,,如果存在实数a,b,使得,那么称函数为与的生成函数.
(1)已知,,,是否存在实数a,b,使得为与的生成函数?若不存在,试说明理由;
(2)当,时,是否存在奇函数,偶函数,使得为与的生成函数?若存在,请求出与的解析式,若不存在,请说明理由;
(3)设函数,,,,生成函数,若函数有唯一的零点,求实数的取值范围.
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