极坐标方程测试题一.doc

坐标系与简单曲线的极坐标方程小测一

在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为

在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为

在极坐标系中，两点A、B的极坐标分别为，〔O为极点〕的面积为

在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为

在极坐标系中，曲线的与交点的极坐标为

极坐标方程的直角坐方程为

曲线经过伸缩变换F作用之后，变成椭圆，那么这个伸缩变换F公式为

在极坐标系中，点到直线的距离为

在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为

在直角坐标系中，曲线的参数方程是〔是参数〕．现以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，那么曲线的极坐标方程为

11．从极点O作一直线与直线相交于M，在OM上取一点P，使得

〔Ⅰ〕求动点P的极坐标方程；

〔Ⅱ〕设R为上的任意一点，试求RP的最小值。

12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，假设圆在以该直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为．

〔Ⅰ〕求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；

〔Ⅱ〕设点是曲线上的动点，点是圆上的动点，求的最小值．

13．在极坐标系中，极点为。一条封闭的曲线C由三段圆弧组成：

。

求曲线C围成的区域的面积；

假设直线与曲线C恰有两个公共点，求实数的取值范围。

1．从极点O作一直线与直线相交于M，在OM上取一点P，使得

〔Ⅰ〕求动点P的极坐标方程；

〔Ⅱ〕设R为上的任意一点，试求RP的最小值。

(2)解:(Ⅰ)设动点P的极坐标为,点M的极坐标为,那么,

又(扣除极点)

即动点P的极坐标方程为(扣除极点);………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)易知动点P的轨迹是以(1.5,0)为圆心,1.5为半径的圆,

故RP的最小值为1.………7分

2．在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，假设圆在以该直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为．

〔Ⅰ〕求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；

〔Ⅱ〕设点是曲线上的动点，点是圆上的动点，求的最小值．

解：〔Ⅰ〕曲线的直角坐标方程为，

圆的直角坐标方程为. …4分

〔Ⅱ〕求的最小值可转化为求的最小值.

过圆心作射线的垂线，垂足在该射线的反向延长线上，

当点在射线的端点时，，

此时的长最小，故此时取最小值.

所以所求的最短距离为.

在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为〔t为参数〕.在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴〕中，圆C的方程为.

〔Ⅰ〕求圆C的直角坐标方程；

〔Ⅱ〕设圆C与直线交于点A、B，假设点P的坐标为，求|PA|+|PB|.

解法一：

〔Ⅰ〕由，得，即．

〔Ⅱ〕将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即．

由于，故可设是上述方程的两实根，

所以又直线过点，

故由上式及的几何意义得．

〔3〕选修4-5：不等式选讲

3．直线的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为

〔1〕求曲线C的直角坐标方程；

〔2〕求直线被曲线C截得的弦长.

解：〔1〕由得，

∴曲线C的直角坐标方程为………2分

〔2〕由消去t得的普通方程为，………4分

，与联立消去y得，

设与C交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么x1+x2=6，x1x2=，……5分

∴直线被曲线C截得的弦长为

|AB|=，……7分

4．曲线的参数方程为〔为参数〕，过点作平行于的直线与曲线分别交于，两点〔极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、轴的正半轴重合〕。

〔Ⅰ〕写出曲线的普通方程；

〔Ⅱ〕求、两点间的距离.

解：〔Ⅰ〕由消去参数得，………3分

〔Ⅱ〕依题意，直线的参数方程为，

代入抛物线方程得，∴

……7分

5．在极坐标系中,过曲线外的一点(其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于．

(Ⅰ)写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建系)；

〔Ⅱ〕假设成等比数列,求的值

⑵参数方程与极坐标

解：(Ⅰ)………3分

〔Ⅱ〕直线的参数方程为(为参数),代入得到

,那么有

因为,所以

解得………7分

6．在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔t为非零常数，为参数〕，在极坐标系〔与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴〕中，直线的方程为.

〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

〔Ⅱ〕是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且〔其中为坐标原点〕？假设存在，请求出；否那么，请说明理由.

解：〔Ⅰ〕∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：.……1分

①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆；……2分

②当时，曲线C为中心在原点的椭圆.……3分

〔Ⅱ〕直线的普通方程为：.