2022年湘教版高中数学选择性必修第一册各章复习总结课件期末复习课件（第一章数列、第二章平面解析几何初步等）.pptx

第一章数列;;【例1】 在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 分析 根据条件列方程(组)求{an}的公比及{bn}的首项与公差.;解 (1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3, 解得q=2,所以an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.;规律方法　等差(等比)数列的基本运算的求解策略 在等差(等比)数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量.“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(或q),an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量.当然在求解中若能运用等差(等比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代换法的运用.;变式训练1 已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.;;【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足2an=Sn+n(n∈N+). (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn. 分析 利用an=Sn-Sn-1(n≥2),将已知条件2an=Sn+n(n∈N+)变形后转化为关于an与an-1(n≥2)的递推关系式,然后转化为1+an与1+an-1(n≥2)的关系.;(1)证明因为2an=Sn+n,① 所以2an-1=Sn-1+n-1(n≥2).② ①-②得,an=2an-1+1(n≥2). 两边同时加1得an+1=2an-1+2(n≥2), 所以 =2(n≥2),故数列{an+1}是公比为2的等比数列. (2)解由2an=Sn+n(n∈N+)可知2a1=a1+1,解得a1=1. 因此数列{an+1}是公比为2,首项为a1+1=2的等比数列. 所以1+an=2×2n-1,即an=2n-1. 将an=2n-1代入2an=Sn+n可得Sn=2n+1-2-n.;规律方法　1.判断和证明数列是等差(等比)数列的两种方法 (1)定义法:对于正整数n,验证an+1-an(或 )为与正整数n无关的常数. (2)中项公式法: ①若2an=an-1+an+1(n∈N+,n≥2),则{an}为等差数列; ②若 =an-1an+1(n∈N+,n≥2且an≠0),则{an}为等比数列. 2.递推关系式中含an,Sn问题的求解方法 (1)结合待证结论,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn或an. (2)由已知条件求出通项公式后,可直接将an代入递推关系中求Sn,而不必使用求和公式.;变式训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2(n∈N+),a1=1. (1)bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)设 ,证明数列{cn}是等差数列.;;【例3】 已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1=1,a2,a4,a8成等比 数列. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=an·2n,求{bn}的前n项和Tn. 分析 利用等差数列的通项公式,结合等比中项的概念求出数列的公差,再根据数列bn=an·2n的构成形式,利用错位相减法求和.;解 (1)∵数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列, ∴(1+3d)2=(1+d)(1+7d),解得d=1或d=0(舍), ∴an=1+(n-1)×1=n. (2)∵bn=an·2n=n·2n, ∴Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,① 2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=-(n-1)·2n+1-2, ∴Tn=(n-1)·2n+1+2.;规律方法　数列求和的常用方法 (1)公式法:直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和. (2)裂项相消法:将数列的各项分成两个式子的代数和,然后相加. (3)错位相减法:若数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,则数列{anbn}可用错位相减法求和. (4)倒序相加法:对于满足性质a1+an=a2+an-1=…的数列可用倒序相加法 求和. (5)分组求和法:将数列的每一项进行适当的拆分后再分组,可组成几个等差或等比数列,进行求和. (6)并项转化法:将数列的某些项合并后转化为特殊的数列求和.;变式训练3 (1)记b