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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学文 (2 )
19. (本小题满分12 分)
F 2 E AF 3
已知点 为抛物线E : y 2 p ( 的焦点,点 在抛物线 上,且 .
x p 0) A(2, m)
E
(Ⅰ)求抛物线 的方程;
(Ⅱ)已知点 ,延长 交抛物线 于点 ,证明:以点 为圆心且与直线 相切的圆,必与直线
G(1, 0) AF E B F GA GB
相切.
ㅤㅤㅤㅤ
【答案】(Ⅰ)y2 4x ;(Ⅱ)详见解析.
【解析】
p
试题分析:(Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由 AF 3 可得2 3 ,
2
可求 的值,进而确定抛物线方程;(Ⅱ)欲证明以点 为圆心且与直线 相切的圆,必与直线 相切.可证明
p F GA GB
F
点 到直线 和直线 的距离相等(此时需确定两条直线方程);也可以证明 ,可转化为证
GA GB GF GF
明两条直线的斜率互为相反数.
p
试题解析:解法一:(I)由抛物线的定义得F 2 .
2
p 2
因为 F 3 ,即2 3 ,解得p 2 ,所以抛物线 的方程为y 4x .
2
(II)因为点 2, m 在抛物线: y 2 4x 上,
所以m 2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 2, 2 2 .
由 2, 2 2 ,F 1,0 可得直线F 的方程为y 2 2 x 1 .
y 2 2 x 1
2
由
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