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第二十四章 时间序列模型 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。 时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。 1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。 2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。 3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻满足： （1）均值为常数 （2）协方差为时间间隔的函数。 则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。 4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。 §1 确定性时间序列分析方法概述 时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。 （1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。 （2）季节变动。 （3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。 （4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。 通常用表示长期趋势项，表示季节变动趋势项，表示循环变动趋势项，表示随机干扰项。常见的确定性时间序列模型有以下几种类型： （1）加法模型 （2）乘法模型 （3）混合模型 其中是观测目标的观测记录，，。 如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下： 1.1 移动平均法 设观测序列为，取移动平均的项数。一次移动平均值计算公式为： 二次移动平均值计算公式为： 当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次移动平均方法建立预测模型： ，， 其预测标准误差为： ， 最近期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般取值范围：。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，的取值应较大一些。否则的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择最佳值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。均方预测误差最小者为好。 当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常用二次移动平均法，但序列同时存在线性趋势与周期波动时，可用趋势移动平均法建立预测模型： ， 其中，。 例1 某企业1月～11月份的销售收入时间序列如下表所示。取，试用简单一次滑动平均法预测第12月份的销售收入，并计算预测的标准误差。 月份 1 2 3 4 5 6 销售收入 533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 月份 7 8 9 10 11 12 销售收入 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7 解： 首先计算出 ， 由于，，则，预测的标准误差为 计算的Matlab程序如下： y=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 ... 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; temp=cumsum(y); mt=(temp(4:11)-[0 temp(1:7)])/4 y12=mt(end) ythat=mt(1:end-1); fangcha=mean((y(5:11)-ythat).^2); sigma=sqrt(fangcha) 1.2 指数平滑法 一次移动平均实际上认为最近期数据对未来值影响相同，都加权；而期以前的数据对未来值没有影响，加权为0。但是，二次及更高次移动平均数的权数却不是，且次数越高，权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端项权数小，中间项权数大，不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。 设观测序列为，为加权系数，，一次指数平滑公式为： （1） 假定历史序列无限长，则有 （2） （2）式表明是