高等数学第章重积分第一节二重积分概念.ppt

第九章 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分值的大小: 例2. 判断积分 例3. 估计下列积分的值 设函数 四、曲顶柱体体积的计算 基本训练 2. 设D 是位于第二象限的有界闭域 , 且 0 < y <1, 则 4. 证明: 作 业 * * * 重积分 上页 下页 返回 结束 Music 二重积分 三重积分 重积分应用 定积分 重积分 二元函数在平面区域上的积分 三元函数在空间区域上的积分 ：一元函数在直线段上的积分 曲顶柱体的体积 二重积分的性质 第九章 重积分 第一节 上页 下页 返回 结束 二重积分 的概念与性质 二重积分的定义 x 0 z y D S S : z = f (x,y) 元素法 一、引例 ??i 1. 曲顶柱体的体积 顶：曲面 底 侧面 上页 下页 返回 结束 （1） 分割区域 D, 化整为零 （2） 局部以平代曲, 求近似 x 0 z y D ??i 上页 下页 返回 结束 积零为整 S : z = f (x,y) 元素法 （1） 分割区域 D, 化整为零 （2） 局部以平代曲, 求近似 一、引例 1. 曲顶柱体的体积 x 0 z y D ??i 上页 下页 返回 结束 （3） 取极限 令分法无限变细 积零为整 S : z = f (x,y) 元素法 （1） 分割区域 D, 化整为零 （2） 局部以平代曲, 求近似 一、引例 1. 曲顶柱体的体积 V = x 0 z y D 上页 下页 返回 结束 （3） 取极限 令分法无限变细 积零为整 S : z = f (x,y) 元素法 （1） 分割区域 D, 化整为零 （2） 局部以平代曲, 求近似 一、引例 1. 曲顶柱体的体积 V = x 0 z y V （3） 取极限 令分法无限变细 积零为整 S : z = f (x,y) 元素法 （1） 分割区域 D, 化整为零 （2） 局部以平代曲, 求近似 一、引例 1. 曲顶柱体的体积 上页 下页 返回 结束 V = 一平面薄片占有 xOy 平面上的区域 D , 计算该薄片的质量 M . D 的面积为? , 则 若 非常数 , 采用元素法: 其面密度为 (1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 上页 下页 返回 结束 (2)“常代变求近似和” 中任取一点 总质量 (3)“取极限求精确” 则第 k 小块的质量 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割；常代变求近似和； 取极限求精确” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 上页 下页 返回 结束 定义. 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取点 若存在常数 I , 使得 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分区域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数. 上页 下页 返回 结束 曲顶柱体体积: 平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 二重积分常记作 这时 来划分区域D , 因此， 可用平行于坐标轴的直线 上页 下页 返回 结束 在直角坐标系下，面积元素 若 定理. 在D上可积. 在 D上连续, 则 上页 下页 返回 结束 ( k 为常数) 以上两性质统称为线性性质. 下一性质是说，二重积分关于积分区域具有可加性. 特别地, 由于 则 5（比较定理）. 若在D上 6（估值定理）. 设 D 的面积为? , 则有 上页 下页 返回 结束 ? 为D 的面积, 则 7.(二重积分的中值定理) 证 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使得 连续, 因此 上页 下页 返回 结束 其中 解 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 上页 下页 返回 结束 更确切地 的正负号. 解 如图, 分积分域为 则 原式 = 猜想结果为负 但不好估计 . 舍去此项 上页 下页 返回 结束 解 D 的面积为 由于 积分性质5 即 1.96 ? I ? 2. D 上页 下页 返回 结束 确切地， 1.96 < I < 2. D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在区域 D 上 在闭区域D上连续,