第四章_矩阵的特征值和特征向量.ppt

第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 ?? §4.2 §4.3 §4.4 法国数学家柯西: 给出了特征方程的术语, 证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值 给出了相似矩阵的概念, 证明了相似矩阵有相同的特征值 英国数学家凯莱: 方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论 德国数学家克莱伯施, 布克海姆(A.Buchheim)等: 证明了对称矩阵的特征根性质 泰伯(H.Taber): 引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论 1854 年, 法国数学家约当 矩阵化为标准型的问题 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 ? 一. 问题 习题1(B). 23 求A11. 设P?1AP = ?, P = , ? = ?1 ?4 1 1 ?1 0 0 2 , A = P?P?1 A11 = (P?P?1)(P?P?1)(P?P?1)…(P?P?1) ?11 = ?1 0 0 211 = P?11P?1 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 ? 二. 相似矩阵的定义 A与B相似(similar): ?P, s.t. P ?1AP =B. 记为A~B. 易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; (2) 对称性: A~B ? B~A; (3) 传递性: A~B, B~C ? A~C. ? 性质1. 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B). 证明: 设P ?1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P ?1f(A)P = anP ?1AnP+…+a1P ?1AP+a0 P ?1EP = an(P ?1AP)n+…+a1P ?1AP+a0E = P ?1(anAn+…+a1A+a0E)P = anBn+…+a1B+a0E = f(B). 三. 相似矩阵的性质 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 ? 性质2. 设A~B, 则|A| = |B|. 证明: P ?1AP = B ? |P ?1AP| = |B| 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 |P ?1|?|A|?|P| = |P|?1?|A|?|P| = |A| = 性质3. 设A~B, 则r(A) = r(B). 证明: P ?1AP = B ? r(A) = r(B). ? 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 A = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … a1n A的迹(trace): tr(A) = a11 + a22 + … + a1n (1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B); (2) tr(kA) = ktr(A); (3) tr(AB) = tr(BA). ? 性质4. 设A~B, 则tr(A) = tr(B). 证明: P ?1AP = B 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 ? tr(B) = tr(P ?1AP) = tr(APP ?1) = tr(A). ? 1. 定义: 四. 相似对角化(diagonalize) 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 A~? = = P ?1AP ?1 0 … 0 0 ?2 … 0 … … … … 0 0 … ?n P = (?1, …, ?n)可逆 ? ?1, …, ?n线性无关 P ?1AP = ? ? AP = P? ? (A?1, …, A?n) = (?1?1, …, ?n?n) ? 2. 条件: 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.1 相似矩阵 定理4.1. An?n ~ 对角矩阵 ? ??1, …, ?n和线性无关的?1, …, ?n, s.t. A?i = ?i?i (i = 1, …, n). P = (?1, …, ?n), ? = diag(?1, …, ?n), 在此条件下, 令 则P ?1AP = ?. ? §4.2 特征值与特征向量 一. 定义 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 ? A? = ?? n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue) 特征向量(eigenvector) 对应 ? “Eigen” is German for “characterist