2013届中考数学押轴题备考复习测试题7.doc

阅读理解型的押轴题解析汇编一 阅读理解型 （2011江苏南京，9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． ⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 【解题思路】【答案】Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴，∴CD=BD． ∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． ∴E是△ABC的自相似点． ⑵①作图略． 作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A； （ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P． 则P为△ABC的自相似点． ②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，． ∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC． ∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， ∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∴∠A+2∠A+4∠A＝180°． ∴．∴该三角形三个内角的度数分别为、、． 【点评】.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°= . （2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 . （3）如图②，已知sinA=，其中∠A为锐角，试求sadA的值. 【】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．【答案】（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°= =1．（2）当A接近0°时，sadα接近0，当A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）? 如图，在ABC中，ACB=90°，sinA= ．在AB上取点D，使AD=AC，作DHAC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，?则AD=AC= =4k，又在ADH中，AHD=90°，sinA= ．DH=ADsin∠A= k，AH= = k．则在CDH中，CH=AC-AH= k，CD= = k．于是在ACD中，AD=AC=4k，CD= k．由正对的定义可得：sadA= = ．【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答． 教师助手 学生帮手 家长朋友 教师助手 学生帮手 家长朋友 P D A A A C C C B B B E ① ② ③ (第27题)