3-1导数及导数的运算.docVIP

一、选择题 1．(文)(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x [答案]　A [解析]　该题考查导数的几何意义，注意验证点在曲线上． y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3， 切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1. (理)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1　　　　　　　 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案]　A [解析]　本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义． y′＝2x＋a，y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1， 将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．已知f0(x)＝cosx，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，f3(x)＝f ′2(x)…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，nN＋，则f2013(x)＝(　　) A．sinx　　　　　　　 B．－sinx C．cosx　　　 D．－cosx [答案]　B [解析]　f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx， f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx…，故fn(x)的周期为4， f2013(x)＝f1(x)＝－sinx. 3．(文)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝x2－lnx B．f(x)＝xex C．f(x)＝sinx D．f(x)＝＋ [答案]　D [解析]　本题考查导数的运算，据导数的运算公式知只有D符合题意． (理)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　) A.　　　　 B．0 C．钝角　　　　 D．锐角 [答案]　C [解析]　f′(x)＝exsinx＋excosx ＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)． f′(4)＝e4sin(4＋)＜0，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C. 4．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)是(　　) A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 [答案]　C [解析]　f(x)＝sinxcosx＋sinx，则f′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f′(x)是偶函数，又因为cosx[－1,1]，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值． 5．(文)(2012·南京金陵中学高三模拟)若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 [答案]　A [解析]　求导，得y′＝－x (x0)，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a，由点斜式，得切线l的方程为y－a－＝－a (x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a＝a＝18，解得a＝64. (理)(2011·大纲全国卷理，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D．1 [答案]　A [解析]　 本小题考查的内容是导数的几何意义． y′＝(e－2x＋1)′＝－2·e－2x， 令x＝0，y′＝－2，k＝－2，切线方程为y＝－2x＋2. 如图，联立， ∴，S＝×1×＝. 6．(文)(2012·安徽淮南模拟)若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为(　　) A．2 B．－2 C．6 D．－6 [答案]　C [解析]　f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5， f′(x)＝x2－2f′(－1)x＋1， f′(－1)＝(－1)2－2f′(－1)(－1)＋1， 解得f′(－1)＝－2. f′(x)＝x2＋4x＋1，f′(1)＝6. (理)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(－πφ0)，若f(x)＋f′(x)是偶函数，则φ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　C [解析]　f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cos，显然当φ＝－时，f(x)＋f′(x)＝2cosx是偶函数． 二、填空题 7．设直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为________． [答案]　ln2－1 [解析]　由已知条件可得k＝(lnx)′＝＝，得切点的横坐标x＝2，切点