《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.docxVIP

《微分几何》陈维桓第六章习题及答案

姓名：__________考号：__________

一、单选题(共10题)

1.设曲面S的方程为F(x,y,z)=0，则曲面S在点P处的法向量可以表示为：()

A.?F(P)

B.?F(P)×{i,j,k}

C.?F(P)÷|?F(P)|

D.?F(P)÷|?F(P)|×{i,j,k}

2.在曲面上求一点处的切平面方程，需要知道：()

A.曲面的方程和该点的坐标

B.曲面的方程和该点的法向量

C.曲面的方程和该点处的切向量

D.曲面的方程和该点处的曲率

3.曲线的曲率半径R与曲率K的关系为：()

A.R=1/K

B.R=K

C.R=K^2

D.R=K^3

4.若曲线的曲率K在某一区间内为常数，则该曲线在该区间内：()

A.为直线

B.为圆弧

C.为抛物线

D.为双曲线

5.设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，则曲线在t=t0处的切线方程为：()

A.y=g(t0)x-f(t0)

B.y=f(t0)x-g(t0)

C.y=g(t0)x+f(t0)

D.y=f(t0)x+t0

6.若曲面的法线与某一直线的方向向量相同，则该直线与曲面：()

A.相交

B.相切

C.垂直

D.平行

7.设曲面的方程为F(x,y,z)=0，则曲面在点P处的曲率K可以表示为：()

A.?F(P)×?F(P)

B.?F(P)÷|?F(P)|

C.?F(P)×?F(P)÷|?F(P)|

D.?F(P)÷|?F(P)|×?F(P)

8.若曲线的曲率K在某一区间内单调递增，则该曲线在该区间内：()

A.凸向上

B.凸向下

C.为直线

D.为圆弧

9.设曲面的方程为F(x,y,z)=0，则曲面在点P处的法向量与x轴的夹角θ满足：()

A.cosθ=?F(P)·i

B.cosθ=?F(P)÷|?F(P)|

C.cosθ=|?F(P)|

D.cosθ=?F(P)×i

10.若曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，则曲线在t=t0处的曲率K可以表示为：()

A.(f(t0)^2+g(t0)^2)^(-3/2)

B.(f(t0)^2+g(t0)^2)^(-1/2)

C.(f(t0)^2+g(t0)^2)^(-1/3)

D.(f(t0)^2+g(t0)^2)^(-2/3)

二、多选题(共5题)

11.以下哪些是曲面S：z=f(x,y)在点P处的切平面方程的必要条件？()

A.存在偏导数f_x(x_0,y_0)和f_y(x_0,y_0)

B.曲面S在点P处连续

C.曲面S在点P处可微

D.曲面S在点P处偏导数f_x(x_0,y_0)和f_y(x_0,y_0)均不为0

12.关于曲线的曲率半径和曲率，以下哪些说法是正确的？()

A.曲率半径越大，曲率越小

B.曲率半径越小，曲率越大

C.曲率半径是曲率的倒数

D.曲率半径是曲率的平方

13.在曲面S：F(x,y,z)=0的等值线族中，以下哪些性质是正确的？()

A.等值线族的法线方向相同

B.等值线族的切线方向相同

C.等值线族的法线与曲面的法向量垂直

D.等值线族的切线与曲面的法向量垂直

14.关于空间曲线的参数方程，以下哪些性质是正确的？()

A.参数方程可以表示曲线的任意点

B.参数方程的导数可以表示曲线的切向量

C.参数方程的二阶导数可以表示曲线的曲率向量

D.参数方程的三阶导数可以表示曲线的挠率向量

15.以下哪些是曲面S：F(x,y,z)=0在点P处的法线方程的必要条件？()

A.存在偏导数F_x(x_0,y_0,z_0)和F_y(x_0,y_0,z_0)

B.曲面S在点P处连续

C.曲面S在点P处可微

D.曲面S在点P处的偏导数F_x(x_0,y_0,z_0)和F_y(x_0,y_0,z_0)均不为0

三、填空题(共5题)

16.曲面S：z=f(x,y)在点P处的法向量可以表示为__。

17.曲线的曲率K在点P处的表达式为__。

18.若曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，则曲线在t=t0处的切向量可以表示为__。

19.曲面S：F(x,y,z)=0在点P处的法线方程可以表示为__。

20.空间曲线的挠率向量可以表示为__。

四、判断题(共5题)

21.曲面的法向量与曲面的切平面垂直。()

A.正确B.错误

22.曲线的曲率是曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线越弯曲。()

A.正确B.错误

23.曲线的挠率