26年高考数学绝密提分专题52平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）（全国通用）（含解析）.docxVIP

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专题5.2平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）

【全国通用】

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【题型1基底的概念及辨析】 3

【题型2用基底表示向量】 4

【题型3利用平面向量基本定理求参数】 4

【题型4平面向量的坐标运算】 5

【题型5向量共线的坐标表示】 6

【题型6由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 6

1、平面向量基本定理及坐标表示

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解平面向量基本定理及其意义

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示

(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件

2023年天津卷：第14题，5分

2024年新课标I卷：第3题，5分

2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分

2024年上海卷：第5题，4分

2025年全国二卷：第12题，5分

平面向量是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.

知识点1平面向量基本定理的探究

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量a在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2．应用平面向量基本定理求向量的实质

应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.

知识点2平面向量坐标运算及其解题策略

1．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)①.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示.

显然，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

区别

表示形

式不同

向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.

意义

不同

点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).

联系

向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

2．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量，等价于，，所以

，即.同理可得.

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由a=(x,y)，可得，则，即.

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

3．共线的坐标表示

(1)两向量共线的坐标表示

设，，其中b≠0.我们知道，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是.

(2)三点共线的坐标表示

若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即，

或由得到，

或由得到.

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

4．平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先