初中数学竞赛标准教程及练习67参数法证平几.docVIP

初中数学竞赛精品标准教程及练习(67)

参数法证平几

一、内容提要

1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.

2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算.

二、例题

例1如图已知：AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，

CD⊥AB于D，⊙N与⊙O内切且与AB、CD分

别切于E，F.

求证：AC=AE.

分析：选取两圆半径为参数，通过半径联系AC，AE的关系.

证明：设⊙O，⊙N半径分别为R和r，连接ON，NE.

根据勾股定理：

∴AC=AE

例2.已知：△ABC的内切圆I和边AB，BC，CA分别切于D，E，F，

AC×BC＝2AD×DB.

求证：∠C＝Rt∠.

证明：设AD＝x,则DB＝c－x.

代入AC×BC＝2AD×DB.

得ab=2x(c－x).

2x2－2cx+ab=0.

c2－2ab=a2－2ab+b2.

∴c2=a2+b2.

∴∠C＝Rt∠.

例3.已知：等边三角形ABC中，P是中位线DE上一点，BP，CP的延长线分别交AC于F，

交AB于G.

证明：设△ABC边长为a,PD＝m,PE=n,BG=x,CF=y.

∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC.

S△ABC∶S△ABD∶S△BCD＝1∶3∶4.

求证：M，N平分AC和CD.

证明：设S△ABC＝1，则S△ABD＝3，S△BCD＝4，S△ACD＝3＋4－1＝6.

根据高相等的三角形面积的比等于底的比，得

∵S△ACN－S△AMN＝S△MNC＝S△BCN－S△BMC

∴6k－6k2=4k－(1－k).

6k2－k－1=0.

∴k=；或k=.(k=.不合题意，舍去.)

∴AM＝MC，CN＝ND.

即M，N平分AC和CD.

例5.已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD.

求证：AB＝AC.

证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.

根据勾股定理

例6.如图已知：一条直线截△ABC三边AB，BC，AC或延长线于D，E，F.

证明：设∠BDE＝α，∠DEB＝β，∠F＝γ.

根据正弦定理：

三、练习67

1.已知：如图三条弦AB，CD，EF两两相交于G，H，I.

IA＝GD＝HE，IC＝GF＝HB.

求证：△GHI是等边三角形.

2.已知：在矩形ABCD中，AP⊥BD于P，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.

求证：PA3＝PE×PF×BD

3.已知：△ABC的两条高AD，BE相交于H，

求证：过A，B，H三点的圆与过A，C，H三点的圆是等圆.

4.已知：AB是⊙O的直径，P是半圆上的一点，PC⊥AB于C，以PC为半径的⊙P交⊙O于D，E.

求证：DE平分PC.

5.已知：△ABC的两条高AD和BE相交于P，且AD＝BC，F是BC的中点.

求证：PD＋PF＝BC

6.已知：平行四边形ABCD中，∠A＜∠B，AC2×BD2＝AB4＋AD4.

求证：∠A＝∠B.

7.求证：四边形内切圆的圆心，它到一组对角的顶点的距离的平方的比，等于该组角的两边的乘积的比.

8.已知：AB是⊙O的直径，E是半圆上的一点，过点E作⊙O的切线和过A，B的⊙O的两条切线分别相交于D，C，四边形ABCD的对角线AC，BD交于F，EF的延长线交AB于H.

求证：EF=FH.

9.已知：如图⊙M和⊙N相交于A，B，公共弦AB的延长线交两条外公切线于P，Q.

求证：PA=QB；PQ2=AB2+CD2.

已知：正方形ABCD内一点P，满足等式

PA∶PB∶PC＝1∶2∶3.

求证：∠APB＝135.

11.一个直角三角形斜边为c,内切圆半径是r,求内切圆面积与直角三角形面积的比.（提示：引入参数a和b表示两直角边）

练习67参考答案：

设IA＝a,IC＝b,IH＝x,HQ＝y用相交弦定理列方程组.

设∠ABH＝∠ACH＝α，用AH∶Sinα表示两圆的半径.

设DF＝m,FE=n,PF=x,FC=y,⊙P的半径为r,由相交弦定理，得

mn=x(y+r)=y(x+r)

7.设AB=a,BC=b.CD=c,DA=d,OA=x,OC=y，OD=u,OB=v,

8.设EF=x,FH=y,DA=DE=a,CB=CE=b,可证EF∥BC

设PA＝PC＝PD＝x，QB＝QE＝QF＝y,AB=a，CD＝EF

由切割线定理可知x=y,

PQ2=(2x+a)2=4x2+4xa+a2=4x(x+a)+a2