备考常用微专题 非对称结构及其应用.pdfVIP

高考数学

解析几何核心算法4．非对称结构与应用

一．基本原理

在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直

线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定

理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：

还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构.

我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和

之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．

这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：

（1）利用关系式,将问题转化韦达定理求解.

（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.

具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代

入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析

二．典例分析

1FABF

例．已知点为椭圆的右焦点，，分别为其左、右顶点，过作直

lMN(AB)AMBN

与椭圆交于，两点不与，重合，记直与的斜率分别为证明

为定值．

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x0

解析：方法1.先联，消得，易知△，则

．，代入目标信息得，

稍作整理，即可得，为定值，得

证．

若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，

设，∴

，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决

的情形.

方法2.显然先考虑直l斜率不存在时的情形，此时，，或

，，对应为或，，此时均有，

为定值．

当直l斜率存在时，不妨就正设直，联立，

0

消得易知△＞，则

处设，即，解得，

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即

则，得证．

例2.（2018年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水

平直与椭圆交于两点,记直的斜率分别为,试证:为定值,并

求此定值(用的函数表示).

证明：设，代入椭