常微分方程 变量可分离方程.pptVIP

常微分方程变量可分离方程1第1页，共30页，星期日，2025年，2月5日

一、变量可分离方程的求解当方程（2.2.1）两边同除以得这样对上式两边积分得到例2.2.1求微分方程的通解。2第2页，共30页，星期日，2025年，2月5日

注：求方程通解时，我们假设若时得y值也可能为方程的解。解：变量分离后得上式两边积分得整理得其中该解在无定义,故通解在中有定义.所以要考虑的情况，该方程对应的解我们称为常数解.3第3页，共30页，星期日，2025年，2月5日

例2.2.2求微分方程的通解.解:变形为积分得:求积分得:解得:4第4页，共30页，星期日，2025年，2月5日

记则因为可得故所有的解为:5第5页，共30页，星期日，2025年，2月5日

练习解通解：6第6页，共30页，星期日，2025年，2月5日

二、齐次方程齐次函数:函数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程。求解思想:7第7页，共30页，星期日，2025年，2月5日

例2.2.3求下面初始值问题解：方程为齐次方程，令求导后得分离变量得事实上,令则故有即8第8页，共30页，星期日，2025年，2月5日

积分上式得用代入得利用初始条件可定出代入上式解出9第9页，共30页，星期日，2025年，2月5日

求解微分方程微分方程通解：解练习10第10页，共30页，星期日，2025年，2月5日

解方程解改写方程：齐次方程方程变为：两边积分：练习11第11页，共30页，星期日，2025年，2月5日

分析解方程变为齐次方程练习12第12页，共30页，星期日，2025年，2月5日

两边积分通解：分离变量13第13页，共30页，星期日，2025年，2月5日

三、可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1.当时,此方程就是齐次方程.2.当时,并且(1)14第14页，共30页，星期日，2025年，2月5日

此时二元方程组有惟一解引入新变量此时,方程可化为齐次方程:15第15页，共30页，星期日，2025年，2月5日

(2)若则存在实数使得:或者有不妨是前者,则方程可变为令则16第16页，共30页，星期日，2025年，2月5日

3.对特殊方程令则17第17页，共30页，星期日，2025年，2月5日

例2.2.4求方程的通解。解：解方程组得令代入原方程可得到齐次方程令得18第18页，共30页，星期日，2025年，2月5日

还原后得原方程通解为变量分离后积分19第19页，共30页，星期日，2025年，2月5日

解代入原方程得非齐次型方程.方程组齐次型方程.方程变为练习20第20页，共30页，星期日，2025年，2月5日

分离变量法得原方程通解21第21页，共30页，星期日，2025年，2月5日

例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为，表面积为球体与表面积的关系为§2.2.3变量可分离方程的应用22第22页，共30页，星期日，2025年，2月5日

引入新常数再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件确定出常数C和r代入关系式得t的取值在之间。23第23页，共30页，星期日，2025年，2月5日

游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解设y(t)表示发现首例病人后t小时的感染人数。其中k0为比例常数.可分离变量微分方程初始条件:练习24第24页，共30页，星期日，2025年，2月5日

两边积分,通解分离变量25第25页，共30页，星期日，2025年，2月5日

直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数。26第26页，共30页，星期日，2025年，2月5日

车灯的反射镜面--旋转抛物面解练习27第27页，共30页，星期日，2025年，2月5日

两边积分28第28页，共30页，星期日，2025年，2月5日

抛物线29第29页，共30页，星期日，2025年，2月5日

P.501（1，4，5，9，15）2（1，3），6作业30第30页，共30页，星期日，2025年，2月5日