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高数21试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）

A.y=3x^2B.y=2|x|C.y=x^3D.y=ln(x+1)

【答案】B

【解析】y=2|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等。

2.极限lim(x→0)(sinx)/x的值为（）

A.0B.1C.∞D.-1

【答案】B

【解析】利用基本极限lim(x→0)(sinx)/x=1。

3.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为（）

A.eB.e-1C.1D.0

【答案】B

【解析】平均变化率=(e^1-e^0)/1=e-1。

4.下列级数中，收敛的是（）

A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(1/n^2)C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(1/lnn)

【答案】B

【解析】p-级数，p=21时收敛。

5.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的极值是（）

A.极大值2B.极小值2C.极大值0D.极小值0

【答案】A

【解析】f(x)=3x^2-3，f(1)=0，f(1)=60，故x=1处取极大值f(1)=-2。

6.曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程为（）

A.y=2x-1B.y=2x+1C.y=x-1D.y=x+1

【答案】A

【解析】y=2x，y|x=1=2，切线方程y-1=2(x-1)即y=2x-1。

7.下列函数中，在x→∞时极限存在的是（）

A.y=1/xB.y=x^2C.y=sinxD.y=e^(-x)

【答案】D

【解析】y=e^(-x)→0(x→∞)。

8.函数f(x)=√(x^2+1)在区间[-1,1]上的最小值是（）

A.1B.√2C.√3D.0

【答案】A

【解析】f(x)=x/√(x^2+1)，驻点x=0，f(0)=1，且x=±1时f(x)=√21。

9.下列积分中，值等于0的是（）

A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,1]xdxC.∫[0,2π]cosxdxD.∫[0,1]e^xdx

【答案】C

【解析】∫[0,2π]cosxdx=[sinx][0,2π]=sin2π-sin0=0。

10.函数f(x)=x^3-3x+2的凹区间为（）

A.(-∞,-1)和(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)

【答案】A

【解析】f(x)=6x，f(x)0的区间为凹区间，即x-1或x1。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）

A.函数在某点可导必在该点连续B.函数在某点连续必在该点可导

C.函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点D.函数的拐点是凹凸区间的分界点

【答案】A、D

【解析】可导必连续但连续不一定可导；极值点可能是驻点或导数不存在点；拐点是凹凸区间的分界点。

2.下列级数中，发散的有（）

A.∑(n=1to∞)(1/(n+1))B.∑(n=1to∞)(-1)^n/(n+1)C.∑(n=1to∞)(1/n^3)D.∑(n=1to∞)(1/lnn)

【答案】A、D

【解析】A项与p-级数比较p=1发散；D项lnn单调增，1/lnn1/(n+1)与调和级数比较发散。

3.下列函数中，在x→0时等价无穷小的是（）

A.xB.sinxC.tanxD.1-cosx

【答案】A、B、C、D

【解析】均为x等价无穷小。

4.下列运算正确的有（）

A.∫(x^2+1)dx=x^3/3+x+CB.∫(sinx)dx=-cosx+C

C.∫(1/x)dx=ln|x|+CD.∫(e^x)dx=e^x+C

【答案】B、C、D

【解析】A项∫x^2dx=x^3/3+C。

5.下列命题正确的有（）

A.若f(x)在[a,b]上连续，则∫[a,b]f(x)dx存在B.若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续

C.若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积D.若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上连续

【答案】A、C、D

【解析】连续必可积；单调函数可积；可导必连续。

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=√(4-x^2)的定义域为______。

【答案】[-2,2]

【解析】4-x^2≥0?-2≤x≤2。

2.极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值为______。

【答案】4

【解析】分子分解因式(x-2)(x+2)/(x-2)=x+2，x→2时=4。

3.函数y=2^x在x=1处的切线斜率为______。

【答案】2

【解析】y=2^xln2，x=1时y=2ln2≈2(当ln2≈0.693)。

4.曲线y=x^3-3x的拐点坐标为______。

【答案】(0,0)和(√3,3-3√3)

【解析】y=6x，y=0?x=0或x=±√3，代入y得拐点坐标。

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