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五年级奥数集合理解与应用

同学们，在我们的数学学习中，常常会遇到需要把一些事物归类整理的情况。比如，我们会说“所有的自然数”、“我们班的全体同学”、“超市里的水果”等等。这些其实都涉及到一个重要的数学概念——集合。在五年级的奥数学习中，集合的思想和方法能帮助我们更清晰地分析问题、解决问题。今天，我们就一起来深入理解集合，并探讨它在奥数中的应用。

一、集合的初步理解

1.什么是集合？

简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象汇集在一起组成的整体。这些被汇集的对象，我们称之为这个集合的元素。

比如，“五年级一班的所有男生”就可以构成一个集合，其中每一个男生都是这个集合的元素。再比如，“小于10的所有质数”也能构成一个集合，它的元素就是2、3、5、7。

这里要注意“确定的”和“不同的”这两个词。“确定的”意味着一个元素是否属于这个集合是明确的，不能模棱两可。比如“个子高的同学”就不能构成一个集合，因为“个子高”没有明确的标准。“不同的”则表示集合中的元素不会重复出现。

2.集合的表示方法

我们通常用大写字母来表示集合，比如集合A、集合B。用小写字母或具体的事物名称表示元素。

*列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来。例如，上面提到的“小于10的所有质数”组成的集合，可以表示为：{2,3,5,7}。

*描述法：用集合中元素所共有的特征来描述集合。例如，“所有大于5的偶数”可以表示为：{大于5的偶数}。在奥数中，我们更多时候会结合语言描述来理解。

3.集合间的基本关系

*子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么我们就说集合A是集合B的子集。如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A就是集合B的真子集。可以理解为“整体与部分”的关系，但“部分”也可能等于“整体”（子集允许这种情况），而真子集则是“真包含”关系。

*集合的相等：如果集合A和集合B包含的元素完全相同，那么我们就说集合A和集合B相等。

4.集合的运算——交集与并集

这是我们解决集合应用问题的核心工具。

*交集：由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。简单说，就是“两者共有的部分”。

*并集：由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集。简单说，就是“两者所有元素合在一起的整体（相同元素不重复计算）”。

为了更直观地理解交集和并集，我们常常使用韦恩图（VennDiagram）。韦恩图用一个圆圈或其他封闭图形代表一个集合，通过图形的重叠区域来表示集合间的交集，通过图形覆盖的总面积来表示集合间的并集。这是解决集合问题的“利器”，同学们一定要掌握。

二、集合思想的应用

集合思想在奥数中有着广泛的应用，特别是在解决具有“重叠”、“分类”特征的问题时，如“容斥原理”相关题目。

1.运用韦恩图分析问题

韦恩图能将抽象的集合关系转化为直观的图形，帮助我们快速找到数量关系。

例题1：五年级（1）班有30名学生，其中参加语文兴趣小组的有15人，参加数学兴趣小组的有18人。如果两个兴趣小组都参加的有8人，那么：

（1）只参加语文兴趣小组的有多少人？

（2）只参加数学兴趣小组的有多少人？

（3）至少参加一个兴趣小组的有多少人？

（4）两个兴趣小组都没参加的有多少人？

分析与解答：

我们用一个长方形代表全班30名学生（全集），两个相交的圆分别代表参加语文兴趣小组和数学兴趣小组的学生。相交部分就是两个小组都参加的8人。

*（1）只参加语文兴趣小组的人数=参加语文兴趣小组的人数-两个小组都参加的人数=15-8=7人。

*（2）只参加数学兴趣小组的人数=参加数学兴趣小组的人数-两个小组都参加的人数=18-8=10人。

*（3）至少参加一个兴趣小组的人数，就是参加语文或数学兴趣小组的总人数，即两个圆所覆盖的总面积。这可以用“参加语文的+参加数学的-都参加的（因为这部分被重复计算了一次）”来计算：15+18-8=25人。

*（4）两个兴趣小组都没参加的人数=全班总人数-至少参加一个兴趣小组的人数=30-25=5人。

2.解决“包含与排除”问题（容斥原理初步）

上面的例题其实就是容斥原理（也叫包含排除原理）的简单应用。对于两个集合A和B，它们的并集的元素个数等于A的元素个数加上B的元素个数，再减去A与B的交集的元素个数。用公式表示就是：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

其中，|A|表示集合A中元素的个数，以此类推。

例题2：学校运动会上，五年级参加跑步比赛的有28人，参加跳远比赛的